Tėvai: Napalys Baura (1916–?) ir Ona Masiulytė-Baurienė (1914–2004) – žemdirbiai. Augo dviejų vaikų šeimoje. Sesuo Marija Zita Bauraitė-Dambrauskienė (g. 1953 m.) – tarnautoja, ikimokyklinio ugdymo pedagogė.

1963–1968 m. mokėsi Ilčiukų (Utenos r.) aštuonmetėje mokykloje, 1968–1974 m. baigė Vyžuonų (Utenos r.) vidurinę mokyklą. 1974–1979 m. studijavo Lietuvos žemės ūkio akademijos Agronomijos fakultete, įgijo mokslinio agronomo išsilavinimą.

1979–1982 m. A. Baura buvo Anykščių rajono kolūkio "Už taiką" (Leliūnai) vyriausiasis agronomas.

1982–2000 m. jis dirbo įvairų administracinį darbą Anykščiuose.

1982 m. vasarį–rugsėjį A. Baura trumpai buvo Anykščių rajono gamybinio agrocheminio žemės ūkio aptarnavimo susivienijimo pirmininko pavaduotojas – vyriausiasis agrochemikas. 1982–1984 m. jis dirbo Anykščių rajono valstybinės žemės ūkio produktų supirkimo ir kokybės inspekcijos vyriausiuoju inspektoriumi, 1984–1985 m. – Anykščių rajono žemės ūkio valdybos viršininko pavaduotoju. Nuo 1986 m. sausio 1 d. pertvarkius žemės ūkio valdymo struktūras, 1986–1988 m. jis buvo Anykščių rajono agropramoninio susivienijimo pirmininko (Algimanto Dačiulio) pirmasis pavaduotojas – gamybos skyriaus viršininkas, 1988–1989 m. – šio susivienijimo pirmininko pirmasis pavaduotojas – progresyvių technologijų diegimo skyriaus viršininkas.

Paskirtas 1989 m. kovo 22 d., 1989–1990 m. jis buvo Anykščių rajono Vykdomojo komiteto pirmininko (Algimanto Dačiulio) pirmasis pavaduotojas – rajono agropramoninio susivienijimo pirmininkas.

1990–1995 m. jis dirbo Anykščių rajono valdybos Žemės ūkio skyriaus vedėju, o šį skyrių perdavus apskričiai, 1995–2000 m. buvo Utenos apskrities viršininko administracijos Kaimo reikalų departamento Anykščių rajono žemės ūkio skyriaus vedėjas.

2000–2004 m. A. Baura buvo Lietuvos Respublikos Seimo narys, išrinktas kaip Valstiečių partijos atstovas Anykščių-Kupiškio vienmandatėje rinkimų apygardoje Nr. 49. Seime jis buvo Biudžeto ir finansų komiteto (2000 m.), Valstybės valdymo ir savivaldybių komiteto (2000–2001 m.) bei Aplinkos apsaugos komiteto (2001–2004 m.) narys, Valstiečių ir Naujosios demokratijos partijų frakcijos seniūno pavaduotojas, Seimo delegacijos Baltijos Asamblėjoje narys, Seimo delegacijos Frankofonijos Parlamentinėje Asamblėjoje narys, Seimo delegacijos Tarpparlamentinėje Sąjungoje narys bei kelių tarpparlamentinių grupių narys. A. Baura domėjosi Europos Sąjungos struktūrinių fondų atėjimu į žemės ūkį, žemės ūkio kooperacijos klausimais.

Nuo 2001 m. jis buvo Valstiečių ir Naujosios demokratijos sąjungos narys, šios partijos valdybos narys. Po partijos pertvarkymo A. Baura buvo Lietuvos valstiečių liaudininkų sąjungos, Lietuvos valstiečių ir žaliųjų sąjungos narys, šios partijos Finansų audito ir kontrolės komisijos pirmininkas, nuo 2008 m. – Lietuvos valstiečių liaudininkų sąjungos, 2011–2021 m. – Lietuvos valstiečių ir žaliųjų sąjungos Anykščių rajono skyriaus pirmininkas, kol savo iniciatyva 2021 m. rugsėjį iš šios partijos pasitraukė.

2004–2007 m. A. Baura dirbo privačiose verslo įmonėse, buvo uždarosios akcinės bendrovės "Jaros agrokompleksas" (žemės ūkio produkcijos gamyba) direktorius.
 
2007 m. jis buvo išrinktas Anykščių rajono savivaldybės 2007–2011 m. kadencijos tarybos nariu. Pirmajame posėdyje atsisakęs mandato, 2007–2008 m. A. Baura dirbo Anykščių rajono savivaldybės administracijos direktoriumi.

2008–2012 m. jis buvo Lietuvos Respublikos Seimo narys, išrinktas kaip Valstiečių liaudininkų sąjungos atstovas Anykščių-Kupiškio vienmandatėje rinkimų apygardoje Nr. 49. Nuo Seimo kadencijos pradžios A. Baura buvo Seimo Kaimo reikalų komiteto narys, Atominės energetikos komisijos narys, Tarpparlamentinių ryšių su Rusijos Federacija grupės narys. 2008–2009 m. jis buvo išrinktas Mišrios Seimo narių grupės frakcijos seniūnu, buvo Seniūnų sueigos narys.

Jis dalyvavo 2012 m. Lietuvos Respublikos Seimo rinkimuose kaip Lietuvos valstiečių ir žaliųjų sąjungos remiamas kandidatas šios partijos sąraše, bet nebuvo išrinktas.

2013–2015 m. A. Baura buvo Anykščių rajono mero (Sigučio Obelevičiaus) patarėjas.

Lietuvos valstiečių ir žaliųjų sąjunga iškėlė A. Bauros kandidatūrą į Anykščių rajono mero postą 2015 m. pirmuosiuose tiesioginiuose savivaldybių merų rinkimuose, bet jis nebuvo išrinktas.

2015 m. jis dalyvavo Anykščių rajono savivaldybės 2015–2019 m. kadencijos tarybos rinkimuose kaip Lietuvos valstiečių ir žaliųjų sąjungos atstovas ir buvo išrinktas Tarybos nariu. 2015 m. birželį jis atsisakė Tarybos nario mandato dėl užimtų pareigų savivaldybės administracijoje.

2015–2017 m. A. Baura dirbo Anykščių rajono savivaldybės administracijos Žemės ūkio skyriaus vedėju.

Jis dalyvavo 2016 m. Lietuvos Respublikos Seimo rinkimuose kaip Lietuvos valstiečių ir žaliųjų sąjungos remiamas kandidatas šios partijos sąraše, bet nebuvo išrinktas. 2017 m. pavasarį surengus pakartotinius Lietuvos Respublikos Seimo rinkimus į atsilaisvinusią Seimo nario vietą, jis dalyvavo rinkimuose kaip Lietuvos valstiečių ir žaliųjų sąjungos remiamas kandidatas vienmandatėje Anykščių-Panevėžio rinkimų apygardoje ir pateko į antrąjį rinkimų turą, kuriame buvo išrinktas 2016–2020 m. kadencijos Seimo nariu.

Nuo 2017 m. gegužės 2017–2020 m. A. Baura buvo Lietuvos Respublikos Seimo narys, Lietuvos valstiečių ir žaliųjų frakcijos narys, Seimo Ekonomikos komiteto ir Energetikos komisijos narys.

Nuo 2020 m. A. Baura dirba Lietuvos Respublikos Seimo nario Tomo Tomilino patarėju.

Nuo 2022 m. sausio jis buvo Demokratų sąjungos "Vardan Lietuvos" steigėjas, šios politinės partijos narys, 2022–2023 m. buvo Demokratų sąjungos "Vardan Lietuvos" Anykščių rajono skyriaus pirmininkas, nuo 2023 m. balandžio yra šio skyriaus pirmininko (Dominyko Tutkaus) pavaduotojas.

2023 m. jis dalyvavo Anykščių rajono savivaldybės tarybos rinkimuose kaip Demokratų sąjungos "Vardan Lietuvos" kandidatas ir buvo išrinktas 2023–2027 m. kadencijos Tarybos nariu, yra Socialinių reikalų ir sveikatos apsaugos komiteto narys ir Antikorupcinės komisijos pirmininkas.

Jis yra Anykščių kredito unijos Stebėtojų tarybos narys.

Laisvalaikį skiria daržininkystei ir sodininkystei.

Susituokė 1977 m., žmona Aurelija Kanceravičiūtė-Baurienė (1959–2007) – pedagogė lietuvių kalbos mokytoja, tarnautoja, vadovė. Liko našlys. Vaikai: Vaida Bauraitė-Šilaikienė (g. 1978 m.) – kalbininkė lituanistė, valstybės tarnautoja, teisininko Nedo Šilaikos (g. 1976 m.) žmona, Egidijus Baura (1984–2023) – pedagogas geografas, žemdirbys ūkininkas, Mindaugas Baura (g. 1988 m.) – pedagogas geografas, verslininkas.

Vėl susituokė 2012 m. lapkričio 17 d. Anykščių bažnyčioje, žmona Raimonda Baleišytė-Abramovienė-Baurienė (g. 1964 m.) – pedagogė pradinių klasių mokytoja, visuomenininkė.