Tėvai: Juozas Abraškevičius – kaimo siuvėjas, smulkus ūkininkas, turėjo 5 hektarus žemės, ir Bronė Abraškevičienė – žemdirbė. Augo penkių vaikų šeimoje, buvo antrasis gimęs. Broliai ir seserys: Kęstutis Abraškevičius, Ona Abraškevičiūtė-?, Monika Abraškevičiūtė-? ir Vytautas Abraškevičius (g. 1956 m.) – žemdirbys ūkininkas.

Vaikystėje piemenavo, 1945–1947 m. dirbo samdomu piemeniu pas ūkininkus. Paskui mokėsi ir 1952 m. baigė Traupio (Anykščių r.) septynmetę mokyklą. 

1957–1958 m. A. Abraškevičius dirbo Traupio apylinkės vykdomojo komiteto  pirmininku, 1958–1960 m. jis buvo "Traupio švyturio" kolūkio laukininkystės brigados brigadininkas, 1960–1961 m. – "Kalnapilio" kolūkio (Padvarninkai) brigadininkas. Tuo pačiu metu 1959–1964 m. jis neakivaizdžiai mokėsi Joniškėlio (Pasvalio r.) tarybiniame ūkyje-technikume, įgijo agronomo specialybę.

Paskirtas 1961 m. spalio 9 d., nuo 1961 m. iki šiol jis gyvena ir dirba Viešintose (Anykščių r.). 1961–1992 m. A. Abraškevičius buvo Anykščių rajono "Gimtosios žemės" kolūkio pirmininkas, 1992–1998 m. – Viešintų žemės ūkio bendrovės pirmininkas. Jo iniciatyvos ir organizacinių gebėjimų dėka buvo sukurta visuomeninė Viešintų infrastruktūra, o ūkis buvo stipriausias Anykščių rajone tarp dirbusių nepalankiose vietovėse.

1996–1997 m. jis taip pat buvo akcinės bendrovės "Šlavė" (Anykščių pieninė) valdybos narys.

Nuo 1993 m. iki šiol A. Abraškevičius ūkininkauja, kartu su sūnumis turi apie 600 ha ploto augalininkystės ūkį.

2004–2008 m. A. Abraškevičius buvo pirmasis ūkininkas šalyje, auginęs rugius, kuriuos Prancūzijos koncernas "Belvedere" ir akcinė bendrovė "Vilniaus degtinė" pasirinko "Sobieski" rūšinei degtinei gaminti. Šio ūkininko vardas ir veidas buvo naudotas degtinės reklamoje.

A. Abraškevičius Tėvynės Sąjungos (Lietuvos konservatorių) sąraše 1997–2000 m. buvo išrinktas Anykščių rajono savivaldybės tarybos nariu. Jis buvo Seimo narės Rasos Juknevičienės visuomeninis patarėjas (2000–2004 m.).

Už gerą darbą sovietiniais metais A. Abraškevičius buvo apdovanotas Darbo Raudonosios vėliavos ordinu (1986 m.) ir dviejų laipsnių "Garbės ženklo" ordinais (1975 ir 1981 m.), įvairiais garbės raštais. Viešintų bendruomenės taryba suteikė jam Anykščių rajono Viešintų bendruomenės Garbės piliečio vardą (2016 m.). Lietuvos Respublikos 100-mečio proga jis apdovanotas Anykščių rajono savivaldybės "Šimtmečio anykštėno" atminimo ženklu (2018 m.).

Laisvalaikiu medžioja.

Susituokė 1958 m., žmona Irena Gasiūnaitė-Abraškevičienė (g. 1938 m.) – zootechnikė. Vaikai: Kęstutis Abraškevičius (g. 1959 m.) – žemdirbys ūkininkas, Dargiras Abraškevičius (g. 1965 m.) – žemdirbys ūkininkas, Sigita Abraškevičiūtė-Šimonienė (g. 1975 m.) – socialinė pedagogė. Sūnaus Kęstučio žmona Vita Meškėnaitė-Abraškevičienė (g. 1963 m.) – pedagogė vadovė.

Viešintų bendruomenės Garbės piliečio A. Abraškevičiaus gyvenimas ir veikla pristatoma rinkinyje "Viešintų kraštas : kaimai ir žmonės" (sudarytojas Tautvilis Uža, 2017 m.).