Tėvai: Juozas Bagdonas (1875–1953) – žemdirbys ūkininkas, 1905–1923 m. emigrantas JAV, darbininkas, ir Teklė Kuprionytė-Bagdonienė (1890–1942) – žemdirbė. Augo trijų vaikų šeimoje su dviem seserimis, buvo jauniausias. Seserys: Aldona Marija Bagdonaitė-Laurikėnienė (g. 1925 m.) ir Elena Sofija Bagdonaitė-Aglinskienė (g. 1927 m.). Dėdė (motinos brolis) Jonas Kuprionis (1901–1982) –  mokslininkas miškininkas, visuomenininkas, pusbrolis (tėvo sesers sūnus) Leonas Vildžiūnas (1918–2012) – leidėjas.

1931 m. rugsėjo 27 d. Dabužių bažnyčioje buvo pakrikštytas Jono Kęstučio vardais.

1937–1941 m. mokėsi Dabužių pradžios mokykloje, 1941–1949 m. baigė Anykščių gimnaziją 6-ojoje jos laidoje.

Kaip pasiturinčių valstiečių šeimos vaikas negalėdamas studijuoti aukštojoje mokykloje, 1949–1950 m. J. Bagdonas dirbo Šimkų (Klaipėdos r.) pradinėje mokykloje mokytoju, 1950–1951 m. buvo Plikių (Klaipėdos r.) septynmetės mokyklos anglų kalbos, fizikos ir matematikos mokytojas. 1950–1951 m. jis pradėjo neakivaizdžiai studijuoti Šiaulių mokytojų institute.

1951–1954 m. jis atliko privalomąją karinę tarnybą sovietinėje kariuomenėje.

1954–1959 m. J. Bagdonas dirbo Ketvergių (Klaipėdos r.) septynmetėje mokykloje mokytoju, dėstė matematiką, fiziką, braižybą, muziką ir fizinį lavinimą. Jis vadovavo mokyklos ir apylinkės meno saviveiklos ir sporto kolektyvams, buvo mokyklos profsąjunginės veiklos organizatorius.

1959–1964 m. J. Bagdonas studijavo Vilniaus pedagoginiame institute, įgijo matematikos ir braižybos mokytojo išsilavinimą. Studijų metais jis dalyvavo profesinės sąjungos veikloje, buvo išrinktas fakulteto biuro ir instituto komiteto pirmininku. Studijuodamas jis dirbo institute laborantu.

Nuo 1964 m. iki gyvenimo pabaigos J. Bagdonas gyveno ir dirbo Trakuose.

1964–1969 m. jis buvo Trakų mokyklos-internato matematikos ir braižybos mokytojas, 1969–1974 m. – šios mokyklos direktoriaus pavaduotojas mokymo-auklėjimo reikalams.

1974 m. J. Bagdonas buvo paskirtas naujai atidarytos Trakų 2-osios vidurinės mokyklos (dabar – Trakų Vytauto Didžiojo gimnazija) direktoriumi ir šias pareigas ėjo 1974–1991 m. Jo rūpesčiu mokykloje buvo suburtas pajėgus mokytojų kolektyvas, jų išugdyti mokiniai sėkmingai dalyvaudavo respublikinėse gamtos, matematikos, fizikos, chemijos olimpiadose užimdavo prizines vietas, pusė abiturientų įstodavo į aukštąsias mokyklas ir jas sėkmingai baigdavo. 1990 m. rudenį jo vadovaujamai mokyklai buvo suteiktas Vytauto Didžiojo vardas.

1991–1992 m. jis dirbo Trakų Vytauto Didžiojo vidurinėje mokykloje matematikos mokytoju, 1992–2005 m. buvo Vilniaus tiksliųjų, gamtos ir technikos mokslų licėjaus bei Jėzuitų gimnazijos matematikos mokytojas, kol išėjo į pensiją.

Nuo jaunystės jis buvo "Žinijos" draugijos narys, nuolat domėjosi kraštotyros veikla, sukaupė kraštotyros literatūros rinkinį.

J. Bagdonas tyrinėjo savo dėdės miškininko Jono Kuprionio palikimą ir kaupė duomenis apie šios asmenybės gyvenimą ir veiklą. Jis sudarė ir išleido biografines studijas "Jonas Kuprionis skautas" (2006 m.) ir "Jonas Kuprionis miškininkas" (2010 m.). Jo iniciatyva Pavarių girininkijoje (Anykščių r.) buvo įrengta miškininko J. Kuprionio atminimo ekspozicija.

Lietuvos Atgimimo metais jis aktyviai dalyvavo Trakų rajono Sąjūdžio veikloje, nuo 1988 m. įsitraukė į Vilniaus mokytojų sąjūdžio veiklą. 1989 m. jis organizavo Trakų rajono švietimo darbuotojų sąjūdžio veiklą.

J. Bagdonas buvo apdovanotas Lietuvos SSR liaudies švietimo pirmūno ženkleliu (1981 m.), SSRS švietimo ministerijos garbės raštu, "Žinijos" draugijos padėkos raštu. Už švietimo naujovių diegimą ugdymo procese, aktyvią ir kūrybingą pedagoginę veiklą Trakų rajono savivaldybė jį pagerbė Kunigaikščio Vytauto Didžiojo II laipsnio nominacija.

Laisvalaikiu mėgdavo keliauti po gimtąjį kraštą, domėjosi teatru ir visomis meno rūšimis, skaitė knygas.

Vedė 1965 m., žmona Irena Preibytė-Bagdonienė (g. 1945 m.) – pedagogė, matematikos  mokytoja ekspertė. Vaikai: Marius Bagdonas (g. 1967 m.) – informatikas, Šarūnas Bagdonas (g. 1971 m.) – matematikas informatikas, programuotojas.

Mirė 2021 m. sausio 31 d. Trakuose. Palaidotas Trakų naujosiose kapinėse.