Tėvai: Juozapas Kukta (1896–1961) ir Uršulė Motiejūnaitė-Kuktienė (1905–1963). Augo keturių vaikų šeimoje su dviem broliais ir seserimi. Broliai: Petras Kukta (1925 – apie 2002) – 1944 m. P. Plechavičiaus Vietinės rinktinės savanoris, paskui tarnautojas, ir Mykolas Kukta (1938–?) – inžinierius, sesuo Stasė Kuktaitė-Petrusevičienė (g. 1930 m.) – žemdirbė.

Mokėsi Trakinių pradžios mokykloje, baigė 6 klasių Kurklių (Anykščių r.) pradinę mokyklą, 1944–1950 m. – Anykščių gimnaziją.

1950–1951 m. J. Kukta dirbo Medžiočių (Anykščių r.) pradinės mokyklos mokytoju ir vedėju, 1951–1952 m. buvo Staškūniškio (Anykščių r.) pradinės mokyklos vedėjas, 1952–1953 m. – Libertavos (Molėtų r.) septynmetės mokyklos mokytojas.

Dirbdamas J. Kukta 1950–1953 m. neakivaizdžiai studijavo Šiaulių pedagoginiame institute, įgijo gamtos ir geografijos mokytojo išsilavinimą.

1953–1969 m. jis buvo naujai atidarytos Užunvėžių (Anykščių r.) septynmetės, nuo 1962 m. išaugusios į aštuonmetę, mokyklos direktorius, kol ši mokykla 1969 m. vėl buvo pertvarkyta į pradinę. Jo iniciatyva buvo sutvarkytos mokyklos klasės ir aplinka,  pastatytos naujos dirbtuvės praktikos darbams, įrengtos sporto ir geografijos aikštelės. J. Kukta elektrifikavo Užunvėžių mokyklą, nutiesdamas elektros liniją nuo Jono Banėno hidroelektrinės Gabrėluose iki mokyklos.

1969–1970 m. J. Kukta dirbo Dabužių (Anykščių r.) aštuonmetės mokyklos direktoriumi. 1970–1975 m. jis buvo "Nevėžio" kolūkio (Kurkliai II) pirmininko pavaduotojas politiniam-masiniam darbui, kartu dirbo Kurklių vidurinėje mokykloje darbų mokytoju.

1975–1989 m. J. Kukta buvo Kurklių apylinkės Darbo žmonių deputatų tarybos Vykdomojo komiteto pirmininkas. Jo rūpesčiu Šilelio kaime šalia Kurklių buvo įrengtos naujosios Kurklių kapinės, suremontuota senųjų kapinių koplyčia ir tvora, asfaltuotas kelias sujungė Kurklius su rajono centru Anykščiais.

1989 m. rugpjūčio 1 d. išėjęs į pensiją, J. Kukta dar kiek laiko toliau dirbo Kurklių vidurinėje mokykloje darbų mokytoju ir ūkvedžiu.

Laisvalaikiu rašydavo prisiminimus, rinko kraštotyros medžiagą. Kartu su mokytoju Stasiu Juška (1922–1990) jis surinko Trakinių kaimo istorijos žinias, sukaupė ir kitų Kurklių krašto vietovių istorijos archyvą.

Buvo vedęs, žmona Viliutė Paliulytė-Kuktienė (1929–1987) –  bibliotekininkė. Liko našlys. Duktė Violeta Kuktaitė-Levandavičienė (g. 1952 m.) – medikė, sūnūs: Alvidas Kukta (g. 1953 m.) – inžinierius, tarnautojas, ir Valdas Kukta (g. 1963 m.) – inžinierius, verslininkas.

Mirė 2014 m. sausio 7 d. Palaidotas Kurklių kapinėse.