Tėvai: Juozas Kaušpėdas ir Liudvika Lekavičiūtė-Kaušpėdienė – valstiečiai žemdirbiai. Brolis Alfonsas Kaušpėdas (1936–2006) – technikas.

Mokėsi Andrioniškio (Anykščių r.) pradinėje mokykloje ir Anykščių progimnazijoje, 1946 m. baigė Anykščių gimnaziją 3-ojoje jos laidoje. 1946–1952 m. studijavo Kauno Vytauto Didžiojo universitete ir Kauno politechnikos institute, įgijo inžinieriaus architekto išsilavinimą.

1952–1955 m. V. Kaušpėdas dirbo Lietuvos ryšių ministerijos tarnyboje projektuotoju.

1955–1958 m. jis buvo Lietuvos televizijos centro statybos direkcijos vyriausiasis inžinierius, statė telecentro pastatų kompleksą ir pirmąjį Lietuvoje televizijos programų transliavimo antenų bokštą Vilniuje, S. Konarskio gatvėje.

1958–1961 m. V. Kaušpėdas dirbo Ryšių statybos-remonto kontoros viršininku, ją pertvarkius, 1961–1968 m. buvo Ryšių statybos-remonto valdybos viršininkas.

1968–1989 m., iki pensijos, jis dirbo Lietuvos respublikinio ryšių statybos tresto valdytoju.

V. Kaušpėdo vadovaujama įmonė pastatė Viešintų (Anykščių r.) televizijos programų retransliavimo bokštą ir pastatų kompleksą, statė ir montavo televizijos ir ryšių įrenginius, tiesė ryšių kabelius, statė paštų ir telefonų stočių pastatus visoje šalyje.

1992–1994 m. V. Kaušpėdas dirbo Arklio muziejaus Niūronyse (Anykščių r.) vedėju. Į muziejaus teritoriją jis perkėlė ir joje įrengė pirmąją etnografinę aukštaičių (Striukų) sodybą, pastatė kavinės "Pasagėlė" kompleksą.

1999–2002 m. V. Kaušpėdas buvo paminklo Laisvei Anykščiuose statybos komiteto pirmininkas, kol šis paminklas (autorius – skulptorius Vladas Vildžiūnas) 2002 m. buvo pastatytas.

V. Kaušpėdui buvo suteiktas Lietuvos nusipelniusio statybininko garbės vardas (1967 m.)

Laisvalaikiu mėgo keliauti, būti gamtoje, žvejoti, kūrė medžio drožinius ir jais puošė savo tėviškę.

Vedė 1953 m., žmona Ona Gražytė-Kaušpėdienė (1930–2017) – ekonomistė. Vaikai: Algirdas Kaušpėdas (g. 1954 m.) – architektas ir dainininkas, grupės "Antis" solistas, Jolanta Kaušpėdaitė-Rimkevičienė (g. 1957 m.) – architektė.

Mirė 2008 m. lapkričio 10 d. Vilniuje. Palaidotas Andrioniškio (Anykščių r.) kapinėse. Kapą ženklina akmeninis obeliskas su metaline saulute bei įrašu.