Tėvas Juozapas Kaubrė.

Mokėsi Mosėdžio, Skuodo ir Kretingos mokyklose, 1921–1924 m. baigė Telšių "Saulės" gimnaziją, gyvendamas Kretingos pranciškonų vienuolyne. 1924–1928 m. studijavo Kauno kunigų seminarijoje, 1928–1932 m. tęsė studijas Kauno Vytauto Didžiojo universiteto Teologijos-filosofijos fakultete. 1930 m. gruodžio 20 d. A. Kaubrė buvo įšventintas subdiakonu.

1931 m. gegužės 30 d. arkivyskupas Juozapas Skvireckas Kauno arkikatedroje A. Kaubrę įšventino kunigu. Kartu buvo įšventinti Mykolas Grigaliūnas, Stanislovas Tvarijonas, Jonas Matulis ir kiti kunigai.

1932–1938 m. A. Kaubrė gyveno pranciškonų vienuolyne Kretingoje, Pajūryje (Šilalės r.) ir Kaune. 1938–1940 m. jis buvo vikaras Skirsnemunėje (Jurbarko r.), 1940–1941 m. – Gruzdžiuose (Šiaulių r.), 1941–1942 m. – Rumšiškėse (Kaišiadorių r.).

Paskirtas 1942 m. rugsėjo 2 d., 1942–1944 m. A. Kaubrė tarnavo Kavarsko (Anykščių r.) Šv. Jono Krikštytojo parapijos vikaru, talkino klebonui Anicetui Barakauskui, kol 1944 m. balandžio 9 d. buvo perkeltas.

1944 m. balandį–gruodį jis buvo Endriejavo (Klaipėdos r.) Šv. apaštalo Andriejaus parapijos klebonas. Dėl sovietinio persekiojimo grėsmės 1944 m. gruodžio 2 d. jis buvo skubiai perkeltas ir 1944–1946 m. tarnavo Šimkaičių (Jurbarko r.) Šv. vyskupo Martyno parapijos klebonu, kol 1946 m. sausio 14 d. dėl silpnos sveikatos buvo atleistas iš pareigų, gaudamas leidimą laisvai apsigyventi ir gydytis.

1946–1949 m. jis buvo Viešvėnų (Telšių r.) Švč. Trejybės parapijos klebonas, bet gyveno pusiau nelegaliai, slapstydamasis nuo persekiojimo.

1949 m. balandžio 2 d. A. Kaubrė buvo suimtas ir kalinamas, liepos 13 d. Ypatingojo pasitarimo nuteistas 10 metų lagerio, rugpjūčio 26 d. išgabentas į kalinimo vietą ir 1949–1956 m. laikomas Oziorlage (Irkutsko sritis, Rusija). 1956 m. gegužės 21 d. jis atgavo laisvę.

Grįžęs į Lietuvą ir paskirtas 1956 m. birželio 30 d., 1956–1957 m. A. Kaubrė buvo Pajūralio (Šilalės r.) Šv. Joakimo parapijos klebonas, 1957 m. kiek laiko administravo Leckavos (Mažeikių r.) Šv. Lauryno parapiją.

Dėl silpnos sveikatos nuo klebono pareigų 1957 m. jis buvo atleistas ir 1957–1981 m., iki gyvenimo pabaigos, buvo altarista, po kiek laiko gyveno Endriejavo (Klaipėdos r.), Platelių (Plungės r.), Tirkšlių (Mažeikių r.) parapijose, o senatvę praleido Mosėdyje.

Visą gyvenimą būdamas silpnos sveikatos, ligų kamuojamas, dvasininkas domėjosi medicinos mokslu ir liaudies medicina, buvo laikomas liaudies medicinos žinovu. Jis paliko prisiminimų ir liudijimų apie paranormalius reiškinius ir vaiduoklius.

Mirė 1981 m. rugpjūčio 10 d. Mosėdyje (Skuodo r.). Palaidotas Mosėdžio kapinėse.