Gimimo data pagal naująjį kalendorių – 1887 m. rugpjūčio 30 d.

Seneliai: Juozapas Laskauskas (1821–1897) ir Izabelė Jacevičiūtė (1830–1890) – valstiečiai žemdirbiai. Tėvai: Julijonas Laskauskas (1856–1909) iš Piktagalio – žemdirbys ūkininkas ir Ona Trečiokaitė-Laskauskienė (1866–1943) iš Puroniškio – žemdirbė, 1941–1943 m. tremtinė, mirusi tremtyje.

Buvo vyriausias vaikas gausioje šeimoje, kurioje gimė 14 vaikų, bet užaugo devyni. Broliai ir seserys: Antanas Laskauskas (1888–?) – mirė vaikystėje, Izabelė Laskauskaitė-Kaikarienė (1890–1954) – vaistininko Antano Kaikario (1878–1950) žmona, Domicelė Laskauskaitė-Valmusienė (1892–1981) – dvarininkė, tremtyje žuvusio dvarininko Viktoro Valmuso (1889–1942) žmona, 1941–1958 m. tremtinė, Marija Laskauskaitė-Paliokienė (1893–1976) – gydytojo Vincento Palioko (1889–1975) žmona, emigrantė JAV, Teofilė Laskauskaitė-Mikutavičienė (1895–1983) – pedagogė, tremtyje žuvusio teisininko Aleksandro Mikutavičiaus (1882–1942) žmona, 1941–1958 m. tremtinė, Juozapas Edvardas Laskauskas (1897–1938) – žemdirbys ūkininkas, ūkio paveldėtojas, dvyniai Ona Laskauskaitė (1898–1898) ir Jonas Laskauskas (1898–1898) – abu mirė kūdikystėje, Vladislava Laskauskaitė (1899–1899) mirė kūdikystėje, Alfonsas Laskauskas (1900–1943) – verslininkas bankininkas, 1941–1943 m. politinis kalinys, miręs lageryje, Ona Laskauskaitė-Sližienė (1902–1991) – žemdirbė ūkininkė, tremtyje žuvusio ūkininko Simono Sližio (1884–1945) žmona, nuo 1941 m. tremtinė, Stanislovas Laskauskas (1904–1983) – tarnautojas ir Vytautas Laskauskas (1906–1908) mirė vaikystėje. Sūnėnas (sesers Izabelės sūnus) Vytautas Kaikaris (1912–1982) – mokslininkas chemikas.

Buvo pakrikštytas Svėdasų (Anykščių r.) bažnyčioje. Užaugo Lagedžių dvarelyje šalia Anykščių, XIX a. pabaigoje tapusiame lietuvybės židiniu Anykščių krašte. 1908 m. baigė Mintaujos (dabar – Jelgava, Latvija) gimnaziją. 1908–1914 m. studijavo Dorpato (dabar – Tartu, Estija) universiteto Medicinos fakultete, įgijo gydytojo išsilavinimą.

Nuo 1914 m. A. Laskauskas gyveno ir dirbo Torioki miestelyje (Suomija). Prasidėjus Pirmajam pasauliniam karui, buvo mobilizuotas kaip carinės Rusijos armijos gydytojas. 1916 m. jis pakliuvo į vokiečių nelaisvę ir iki karo pabaigos buvo kalinamas.

Išlaisvintas ir grįžęs į Lietuvą, 1918 m. lapkritį jis buvo išrinktas Anykščių valsčiaus komiteto nariu, nuo lapkričio 20 d. buvo šio komiteto pirmininkas – pirmasis Anykščių krašte savivaldos institucijos vadovas. 1919 m. pavasarį, pašalinus Anykščiuose bolševikų revoliucinį komitetą, jis vadovavo Anykščių komendantūrai. Kartu su studijų bičiuliu gydytoju Jonu Tonkūnu jis ruošėsi statyti Anykščiuose ligoninę, tačiau J. Tonkūnui 1919 m. pradžioje mirus, šių planų atsisakė.

1919–1923 m. jis tarnavo Lietuvos kariuomenėje kaip karo gydytojas. A. Laskausko iniciatyva buvo pradėtos steigti karo ligoninės Palangoje ir Kėdainiuose, įkurta sanatorija Palangoje.

Nuo 1923 m. A. Laskauskas išėjo į atsargą kaip vyresnysis gydytojas, kapitonas, ir grįžo gyventi į Anykščius.

1923 m. jis dirbo gydytoju Kavarske (Anykščių r.), o 1924–1940 m. A. Laskauskas buvo universalus privatus Anykščių gydytojas, skaitydavo paskaitas higienos klausimais, buvo išrinktas J. Basanavičiaus liaudies universiteto dekanu. 1929–1940 m. jis dirbo ir Anykščių vidurinės mokyklos, Anykščių progimnazijos gydytoju, rengdavo mokinių sveikatos profilaktinius patikrinimus.

1928 m., kai mirus Juozui Brazaičiui Anykščiuose neliko akių gydytojo, jis papildomai specializavosi gydyti akių ligas.

1933 m. gruodį A. Laskauskas atidarė tuberkuliozės dispanserį ir pats jam vadovavo. 1934 m. Anykščiuose jis įkūrė Draugijos kovai su tuberkulioze skyrių, buvo jo valdybos pirmininkas. Savo namuose jis atidarė ir gimdymo namus, veikusius iki 1941 m.

A. Laskauskas buvo Lietuvos šaulių sąjungos narys, Anykščių šaulių būrio garbės pirmininkas, Anykščių šaulių kuopos Garbės šaulys (nuo 1938 m.). Jo rūpesčiu ir jam parėmus finansiškai, 1931 m. Anykščiuose buvo pastatyti Šaulių ramovės namai, turėję daug įtakos miestelio kultūriniam gyvenimui. A. Laskauskas buvo jų statybos komiteto pirmininkas, už veiklą Šaulių sąjungoje ir visuomenės labui apdovanotas Lietuvos šaulių sąjungos Šaulių žvaigždės ordinu (1932 m.) ir Šaulių žvaigždės medaliu (1939 m.).

1925 m. birželio 30 d. kartu su kitais anykštėnais (mokytoju Jonu Puodžiūnu, taikos teisėju Jonu Maželiu, provizoriumi Antanu Žukausku ir mokytoju Pauliumi Veteikiu) jis įsteigė Visuomenės klubą ir buvo aktyvus jo narys.

Gydytojas A. Laskauskas buvo Tautininkų sąjungos narys, ėjo Anykščių valsčiaus tarybos pirmininko pareigas, aktyviai dalyvavo visuomeninėje ir kultūrinėje veikloje, nuo 1929 m. ilgą laiką ėjo Anykščių smulkaus kredito draugijos banko valdybos nario ir kasininko pareigas. 1936 m. vasarą jis 4-ojoje (Ukmergės, Utenos ir Zarasų) rinkimų apygardoje buvo iškeltas Utenos apskrities  kandidatu į IV Lietuvos Respublikos Seimą, bet nebuvo išrinktas.

Nuo 1939 m. dėl ligos jis prarado vieną akį.

1940 m. sovietų valdžios A. Laskauskas buvo areštuotas kartu su kitais Anykščių valdininkais, pasmerktas mirčiai ir kalintas Utenoje. Jo motina ir brolis Alfonsas buvo ištremti į Altajaus kraštą ir ten mirė, iš tremties grįžo tik sesuo Teofilė.

A. Laskauskas buvo išleistas į laisvę tik pirmosiomis karo dienomis 1941 m. birželį.

Antrojo pasaulinio karo metais buvo Anykščių sveikatos punkto gydytojas.

1944 m. su sūnumi pasitraukė į Vakarus, 1949 m. išvyko į JAV ir apsigyveno Baltimorėje (Merilando valstija), kur nebedirbdamas sulaukė senatvės.

A. Laskauskas dalyvavo Amerikos lietuvių Tautinės Sąjungos Baltimorės skyriaus veikloje. Už nuopelnus lietuvybei 1962 m. jis buvo išrinktas šios organizacijos garbės nariu. Jis taip pat buvo Lietuvių karių veteranų sajungos "Ramovė" Baltimorės skyriaus garbės narys.

Buvo vedęs, žmona Barbora Indziulaitė-Laskauskienė (1899–1928) – medikė, mirusi 1928 m. gruodžio 19 d. nuo džiovos. Likęs našlys, A. Laskauskas nuo 5 metų užaugino sūnų Julijoną Kęstutį Laskauską (1922–2013) – žurnalistą ir visuomenininką.

Mirė 1969 m. rugpjūčio 24 d. Katonsvilyje (Catonsville) prie Baltimorės (Merilando valstija, JAV). Palaidotas Baltimorės Loudon Park nacionalinėse kapinėse.