Tėvai: Juozapas Staškevičius (1909–2004) ir Eugenija Brokaitytė-Staškevičienė (1914–?) – amatininkai prekybininkai. Augo keturių vaikų šeimoje, buvo vyriausias. Broliai ir sesuo: Valentina Staškevičiūtė-Baliūnienė (g. 1938 m.), Romualdas Staškevičius (Romas V. Stas, g. 1943 m.) – gydytojas ir Vytautas Staškevičius (g. 1945 m.) – kunigas. Dėdė (tėvo brolis) Jonas Staškevičius (1910–1955) – kunigas, politinis kalinys, tikėjimo kankinys.

1936 m. gruodžio 26 d. Anykščių bažnyčioje jį pakrikštijo kunigas Jonas Petrėnas, krikštatėviai buvo kunigas Jonas Staškevičius ir Ona Brokaitytė.

Augo Anykščiuose, pradėjo lankyti Anykščių pradžios mokyklą. Tėvams 1944 m. pasitraukus į Vakarus, augo Vokietijoje, mokėsi pradžios mokykloje Flensburge. Apsigyvenęs Kanadoje, baigė Toronto gimnaziją. Studijavo Toronto Šv. Augustino seminarijoje filosofiją, vėliau baigė teologijos studijas Romos (Italija) Gregoriano universitete.

1962 m. gruodžio 22 d. Romoje jis buvo įšventintas kunigu.

J. Staškevičius gyvena ir dirba Kanadoje. 1963–1974 m. jis buvo Toronto Šv. Jono Krikštytojo lietuvių parapijos vikaras, 1974–1976 m. – Misisaugos (Mississauga, Ontario provincija) Lietuvos kankinių šventovės vikaras.

1976–1979 m. jis buvo Delio (Delhi, Ontario provincija) Šv. Kazimiero lietuvių parapijos klebonas, 1980–2006 m. – Misisaugos Lietuvos kankinių šventovės parapijos klebonas.

Jo rūpesčiu 1985 m. buvo pertvarkyta ir žiemos pamaldoms pritaikyta Wasaga Beach (Ontario provincija) kurortinės vietovės koplyčia, o 1993 m. ten įrengta nauja Gerojo Ganytojo bažnyčia. J. Staškevičius iki šiol yra šios bažnyčios administratorius.

Nuo 1997 m. iki šiol jis taip pat yra Delio Šv. Kazimiero parapijos administratorius, nuo 2006 m. – ir Londono (Ontario provincija) Šiluvos Švč. Mergelės Marijos lietuvių parapijos administratorius.

J. Staškevičiaus suprojektuotas stogo kryžius buvo įtaisytas virš Misisaugos Šv. Jono lietuvių kapinių koplyčios, o fasado nišoje yra jo sukurta Rūpintojėlio skulptūra.

Jis yra Staškevičių giminės kasmetinių vasaros sambūrių Pavarėse įkvėpėjas ir organizatorius.

J. Staškevičius buvo jubiliejinio leidinio "Maironio mokykla Toronte : 25 metų sukaktuvinis leidinys (1974 m.) redakcinės komisijos narys. Jis parengė ir išleido "Tinginių žodyną" (2016 m.), kuriame parinko ir pasiūlė lietuviškus atitikmenis paplitusiems tarptautiniams žodžiams, religijos studiją "Pasaulio pagrindai : naujoji prielaida" (lietuvių ir anglų kalbomis, 2019 m.).

Už visuomeninį aktyvumą, telkiant anykštėnus, J. Staškevičius apdovanotas Pasaulio anykštėnų bendrijos medaliu (2010 m.), jam suteiktas Pasaulio anykštėnų bendrijos Garbės nario vardas (2016 m.).