Gimimo data pagal naująjį kalendorių – 1913 m. kovo 14 d.

Tėvai: Juozapas Rimkus (apie 1873 – ?) iš Sliepšiškio ir Karolina Budreikaitė-Rimkienė (apie 1887 – ?) iš Vikonių – valstiečiai žemdirbiai. Augo aštuonių vaikų šeimoje. Broliai Petras Rimkus ir Aloyzas Rimkus mirė vaikystėje. Sesuo Veronika Rimkutė-Sadūnienė (1915–1970) – agronomė. Pusbrolis (motinos sesers Veronikos sūnus) Vaclovas Petras Tumasonis (1909–1997) – gydytojas, emigrantas JAV, dukterėčia (sesers duktė) Nijolė Sadūnaitė (1938–2024) – vienuolė, laisvės gynėja disidentė.

1913 m. kovo 3 d. Svėdasų bažnyčioje jį pakrikštijo vikaras Antanas Strazdas, krikštatėviais buvo Gasparas Juodviršis ir Julijona Budreikaitė.

Mokėsi gimnazijoje, nuo jaunystės buvo uolus ateitininkas. Studijavo Kauno Vytauto Didžiojo universitete, įgijo gydytojo išsilavinimą. Studijų metais buvo ateitininkų medikų korporacijos "Gaja" narys.

1944 m. K. Rimkus su šeima pasitraukė į Vakarus, 1949 m. emigravo į JAV, įsikūrė Čikagoje (Ilinojaus valstija) ir liko iki gyvenimo pabaigos, dirbo bendrosios praktikos ir šeimos gydytoju.

K. Rimkus buvo aktyvus JAV lietuvių ateitininkų organizacijos narys. Jis buvo vienas pagrindinių Ateitininkų namų Lemonte pirkėjų ir dosnus Ateitininkų šalpos fondo rėmėjas.

Jis dalyvavo Tautos Fondo mokyklų įdukrinimo programoje, veikiančioje nuo 2000 m., ir rėmė Svėdasų Juozo Tumo-Vaižganto vidurinę mokyklą.

Buvo vedęs, žmona Aldona Kairytė-Rimkienė (1918–1997). Liko našlys. Sūnūs Aloyzas Rimkus ir Linas Rimkus (g. 1954 m.).

Mirė 2009 m. vasario 10 d. Čikagoje (Ilinojaus valstija, JAV). Palaidotas Čikagos Šv. Kazimiero lietuvių kapinėse.