Tėvai: Povilas Žekonis (1895–1959) ir Apolonija Ribokaitė-Žekonienė – žemdirbiai valstiečiai. Brolis Algirdas Žekonis (g. 1939 m.) – žuvininkystės inžinierius, vadovas.

Mokėsi Surdegio (Anykščių r.) pradžios mokykloje, Troškūnų (Anykščių r.) progimnazijoje. 1940–1941 m. pradėjo mokytis Panevėžio berniukų gimnazijoje, bet karo metais mokslą pertraukė.

Po karo baigė Anykščių gimnaziją. Toliau mokėsi Panevėžio mokytojų seminarijoje, studijavo Vilniaus pedagoginiame institute, įgijo geografijos mokytojo išsilavinimą.

S. Žekonis dirbo mokytoju Pumpėnuose (Pasvalio r.), 1951–1952 m. buvo Surdegio (Anykščių r.) septynmetės mokyklos direktorius.

1952–1962 m. S. Žekonis gyveno ir dirbo Viešintose (Anykščių r.). 1952–1954 m. jis buvo Viešintų vidurinės mokyklos direktoriaus (Viktorija Pasiekaitė-Balnienė) pavaduotojas mokymo reikalams, 1954–1962 m. – Viešintų vidurinės mokyklos direktorius.

1962–1972 m. jis buvo Anykščių Jono Biliūno vidurinės mokyklos direktorius. Pradėjęs vadovauti mokyklai, dirbusiai ankštose patalpose dviem pamainom, jis 1965 m. perkėlė šią mokyklą į naujas patalpas Anykščių miesto pietiniame pakraštyje – dabartinę Anykščių Jono Biliūno gimnazijos vietą.

1972–1987 m. S. Žekonis dirbo Anykščių Jono Biliūno vidurinėje mokykloje geografijos mokytoju, kol išėjo į pensiją. 1973–1974 m. jis dėstė geografiją ir Anykščių vakarinėje (pamaininėje) neakivaizdinėje vidurinėje mokykloje, 1987–1988 m. buvo Skiemonių (Anykščių r.) vidurinės mokyklos geografijos mokytojas.

Jis buvo apdovanotas Lietuvos SSR liaudies švietimo pirmūno ženkleliu (1963 m.), jubiliejiniu medaliu "Už šaunų darbą, minint V. I. Lenino 100-ąsias gimimo metines" (1970 m.).

Laisvalaikiu dirbdavo sode, mėgo skaityti knygas.

Susituokė 1970 m. kovo 7 d. Anykščiuose, žmona Eleonora Bagdonaitė-Žekonienė (g. 1937 m.) – ikimokyklinio auklėjimo pedagogė. Duktė Nerija Žekonytė (g. 1972 m.) – prekybos organizatorė, verslininkė.

Mirė 2005 m. liepos 23 d. Anykščiuose. Palaidotas Umėnų kapinėse šalia artimųjų.

S. Žekonio gyvenimas ir veikla pristatyti Tautvilio Užos sudarytame kraštotyros rinkinyje "Viešintų mokykla lyg vakar palikta" (2014 m.).