Gimimo data pagal naująjį kalendorių –1907 m. liepos 6 d.

Tėvai: Kazimieras Morkvėnas ir Ona Kripaitytė-Morkvėnienė – valstiečiai žemdirbiai. Augo vienuolikos vaikų šeimoje.

1907 m. birželio 30 d. Krinčino bažnyčioje jį pakrikštijo kunigas Jonas Steikūnas, krikštatėviai buvo Klemensas Šlikas ir Elžbieta Šlikienė, Kazimiero Šliko žmona.

Baigė Krinčino (Pasvalio r.) pradžios mokyklą ir Biržų gimnaziją. 1926–1933 m. studijavo Kauno kunigų seminarijoje ir Vytauto Didžiojo universiteto Teologijos-filosofijos fakulteto Teologijos skyriuje, baigė studijas 7-ojoje laidoje, įgijo teologinį išsilavinimą.

1933 m. balandžio 1 d. J. Morkvėnas buvo įšventintas kunigu. Kartu buvo įšventinti Ignas Šaučiūnas, Jonas Klimavičius, Steponas Pelešynas, Kazimieras Šablevičius, Juozas Stankūnas ir kiti kunigai.

1933–1939 m. jis tarnavo vikaru Linkuvoje (Pakruojo r.), kur pasižymėjo aktyvia veikla su parapijos jaunimu. Jis organizavo pavasarininkus ir angelaičius, kiekviename parapijos kaime įkūrė, atgaivino ar sustiprino "Pavasario" kuopeles, visą laiką vadovavo šios organizacijos rajonui, kasmet rengė jaunimo sambūrius ir šventes. Linkuvoje jis pasižymėjo ir švietėjiška veikla – skatino prenumeruoti ir skaityti katalikišką spaudą, buvo gerbiamas už tiesų ir atvirą būdą, principingumą. 

Nuo 1939 m. J. Morkvėnas buvo Spitrėnų (Utenos r.) Švč. Mergelės Marijos Taikos Karalienės parapijos, paskui iki 1945 m. – Antalieptės (Zarasų r.) Šv. Kryžiaus Atradimo parapijos klebonas. 1945 m. jis porą mėnesių laikinai ėjo Alantos (Molėtų r.) Šv. apaštalo Jokūbo parapijos klebono pareigas, kol buvo suimtas, kalinamas ir vėl paleistas klebonas Konstantas Šimašis.

Nuo 1945 m. J. Morkvėnas buvo Salako (Zarasų r.) Švč. Mergelės Marijos Sopulingosios parapijos klebonas, ten ėmėsi iniciatyvos remontuoti apgriautą bažnyčią, 1947 m. sutaisė jos stogą.

Vėliau iki 1964 m. J. Morkvėnas buvo Salų (Rokiškio r.) Šv. Kryžiaus parapijos klebonas, šioje parapijoje pastatė naują kleboniją.

Pasikeitęs su klebonu Mykolu Stoniu, 1964–1970 m. jis tarnavo Svėdasų (Anykščių r.) Šv. arkangelo Mykolo parapijos klebonu.

Senatvę 1974–1981 m.  praleido Pandėlio (Rokiškio r.) Švč. Mergelės Marijos Vardo parapijoje kaip altarista.

J. Morkvėnas visą laiką buvo aktyvus kultūrinės veiklos organizatorius ir katalikiškų organizacijų veiklos skatintojas. Nepriklausomoje Lietuvoje jis lankydavo mokyklas, skatino blaivybę, statė kryžius.

Senatvėje pasižymėjo pamaldumu ir nuoširdumu, buvo kalbus.

Mirė 1981 m. sausio 21 d. Pandėlyje (Rokiškio r.). Palaidotas Pandėlio bažnyčios šventoriuje prie kitų kunigų. Kapą ženklina juodo šlifuoto akmens paminklas-kryžius su portretine nuotrauka, iškalti įrašai: "A+A / Kunigas / Jonas / Morkvėnas / 1907–1981" ir "Tavimi, Dieve, pasitikėjau, / už tai nebūsiu apviltas / per amžius".