Tėvai: Vincentas Šablevičius (apie 1877 – ?) ir Magdalena Baltuškaitė-Šablevičienė (1880–?) – žemdirbiai ūkininkai, turėjo 50 hektarų žemės. Augo šešių vaikų šeimoje su trim broliais ir dviem seserimis. Broliai: Vincas Šablevičius, Juozas Šablevičius ir Vytautas Šablevičius (1920–?) – žemdirbys, seserys Uršulė Šablevičiūtė-Pavydienė (?–1950) – žemdirbė ūkininkė, Adomavos dvaro savininkė, ir Julija Šablevičiūtė-?. Sesuo Birutė Šablevičiūtė (1920–1920) mirė kūdikystėje. Dėdė (motinos brolis) Justinas Baltuška (1871–1947) – revoliucionierius, visuomenininkas, emigrantas JAV, teta (motinos sesuo) Juozapota Baltuškaitė (1862–1936) – knygnešė.

Baigė Ukmergės gimnaziją. 1927–1929 m. studijavo Kauno metropolijos kunigų seminarijoje, 1929–1933 m. tęsė studijas Vytauto Didžiojo universiteto Teologijos-filosofijos fakulteto Teologijos skyriuje, baigė studijas 7-ojoje laidoje, įgijo teologinį išsilavinimą. 1932 m. kovo 12 d. jis buvo įšventintas subdiakonu.

1933 m. balandžio 1 d. K. Šablevičius buvo įšventintas kunigu. Kartu buvo įšventinti Steponas Pelešynas, Juozas Stankūnas, Jonas Klimavičius, Jonas Morkvėnas, Ignas Šaučiūnas ir kiti kunigai. Pirmąsias Šv. Mišias 1933 m. balandžio 17 d. jis aukojo gimtosios parapijos Kavarsko Šv. Jono Krikštytojo bažnyčioje, ta proga pirmąkart grojo Kavarsko dūdų orkestras.

Paskirtas 1933 m. birželio 12 d., 1933–1936 m. jis tarnavo Kelmėje, buvo vikaras ir vidurinės mokyklos kapelionas, pavasarininkų dvasios vadas.

Perkeltas 1936 m. rugpjūčio 27 d., 1936–1949 m. K. Šablevičius tarnavo Gruzdžiuose (Šiaulių r.), 1936–1942 m. buvo parapijos vikaras, talkino klebonui Petrui Račui, o jam susirgus ir 1944 m. mirus, 1942–1948 m. ėjo Gruzdžių Švč. Trejybės parapijos administratoriaus pareigas. Paskirtas 1948 m. balandžio 16 d., 1948–1949 m. buvo Gruzdžių klebonas. 1936–1940 m. jis buvo ir Gruzdžių žemės ūkio mokyklos kapelionas, aktyviai dalyvavo miestelio kultūrinėje veikloje. K. Šablevičius buvo Lietuvos šaulių sąjungos narys.

Perkeltas 1949 m. rugpjūčio 11 d., 1949–1953 m. jis tarnavo Rumšiškių (Kaišiadorių r.) Šv. arkangelo Mykolo parapijos klebonu. Paskirtas 1953 m. gegužės 5 d., 1953–1964 m. jis buvo Dotnuvos (Kėdainių r.) Viešpaties Apreiškimo Švč. Mergelei Marijai parapijos klebonas. 1953–1954 m. jis ėjo ir Kėdainių dekano pareigas, bet dėl sveikatos jų 1954 m. gegužės 8 d. atsisakė.

Pablogėjus sveikatai, 1964 m. gruodžio 16 d. K. Šablevičius atsisakė klebono pareigų ir 1964–1965 m., iki gyvenimo pabaigos, liko altarista Dotnuvoje.

Mirė 1965 m. spalio 20 d. Dotnuvoje (Kėdainių r.). Palaidotas Dotnuvos kapinėse, kapą ženklina paminklas.