Tėvai – žemdirbiai valstiečiai, turėjo 3 hektarus žemės. Augo dviejų vaikų šeimoje su seserimi.

Vaikystėje ir paauglystėje dirbo tėvų ūkyje.

1941 m. per Vasario 16-osios šventę kartu su dviem dešimtimis Traupio apylinkių jaunuolių R. Aleksiūnas davė Lietuvos Laisvės Armijos nario priesaiką. 1941 m. vasarą jis organizavo žmonių perspėjimą, kaip išvengti tremties ir apsaugoti savo turtą, paskui buvo Birželio 22–28 d. sukilimo dalyvis.

Prasidėjus Antrajam pasauliniam karui, Jusiškio būrys, kuriam priklausė R. Aleksiūnas, nenusiginklavo ir liko Lietuvos Laisvės Armijoje. 1944 m. organizuojant generolo Povilo Plechavičiaus armiją, R. Aleksiūnas Ukmergėje buvo pristatytas generolui kaip grupės vyresnysis ir gavo įsakymą likti vietoje.

R. Aleksiūno grupei iš pradžių vadovavo Julius Miškinis, o jam žuvus, vadas buvo Antanas Juzakėnas-Liūtas. 1944 m. liepos mėnesį R. Aleksiūnas ir jo bendražygiai Mickūniškiuose priėmė iš Švenčionių atgabentą ginkluotę ir amuniciją – 100 šautuvų ir po 200 šovinių kiekvienam šautuvui. Jie paslėpė šautuvus ir šaudmenis, o 1944 m. spalį, vykdydami įsakymą, 60 šautuvų perdavė Lėno miško būrio vadui Juozui Krikštaponiui, likusius šautuvus dalijo atskirais įsakymais.

Po to, kai 1945 m. vasario mėn. 9 d. mūšyje su rusų kariuomene žuvo 18 kovos bendražygių, palaidojus žuvusius, R. Aleksiūnas ir dar du jo draugai gavo dokumentus, legalizavosi ir pasitraukė iš aktyvios kovos.

1945 m. nuo vasario iki gegužės jis mokėsi Vilniaus geležinkelininkų mokykloje. Išsiaiškinus, kad jo dokumentai padirbti, iš mokyklos jis pabėgo ir vėl grįžo į grupę.

1945 m. liepą grįžęs pas tėvus į namus pasikeisti drabužių ir pernakvoti, R. Aleksiūnas buvo užkluptas kareivių ir paimtas į nelaisvę, mėnesį kalintas Panevėžyje, paskui išleistas į namus su įpareigojimu kas savaitę registruotis Raguvos valsčiaus milicijoje.

Nuo 1945 m. rudens R. Aleksiūnas metus dirbo Raguvėlės (Anykščių r.) žemės ūkio mokykloje komendantu ir ūkio darbininku, kartu ten ir mokėsi, įgijo vairuotojo ir mechaniko specialybes.

1946–1947 m. jis dirbo Panevėžio telefonų ryšių mazge mechaniku. Gyvendamas   Panevėžyje, iš aviacijos remonto dirbtuvių jis gavo ginklų ir šovinių, kuriuos perdavė A. Juzakėno-Liūto būrio partizanams.

1947–1948 m. jis buvo Palėvenėlės (Kupiškio r.) spirito varyklos vairuotojas. 1948 m. Vilniuje jis baigė buhalterių kursus ir įgijo buhalterio specialybę.

1948–1949 m. R. Aleksiūnas dirbo Anykščių žemės ūkio kooperacijos sąjungoje vyriausiuoju buhalteriu, kol žemės ūkio kooperacijos sąjunga buvo panaikinta, įsteigus kolūkius.

1949–1950 m. jis dirbo Šilutėje buhalteriu-revizoriumi, buvo Traksėdžių (Šilutės r.) durpyno parduotuvės pardavėjas. 1950 m. gegužę, jausdamas prasidėjusį persekiojimą ir siekdamas išvengti represijų, jis pasitraukė į pogrindį ir slapstėsi tėviškėje bei kitur. 1951 m. spalio mėn. 5 d. jis buvo areštuotas, mėnesį kalintas Troškūnų (Anykščių r.) tardymo kameroje, paskui pervežtas į Šilutę, ten kalintas ir tardomas iki 1952 m. kovo.

1952 m. kovą R. Aleksiūnas už antisovietinę veiklą buvo nuteistas 17 metų nelaisvės ir išvežtas į Rusijos šiaurės lagerius. Po J. Stalino mirties 1953 m. jam buvo pritaikyta  amnestija, bausmės laikas sumažintas perpus, o po trejų metų jis buvo paleistas ir 1956 m. liepos 26 d. grįžo į Lietuvą.

Iki gyvenimo pabaigos R. Aleksiūnas gyveno Panevėžyje.

R. Aleksiūnas buvo pripažintas ginkluoto pasipriešinimo (rezistencijos) dalyviu ir jam išduotas Kario savanorio pažymėjimas (2003 m.). Jis apdovanotas Lietuvos kariuomenės kūrėjo savanorio medaliu (2005 m.).

Buvo vedęs, žmona Vanda Maleronkaitė-Aleksiūnienė (1929–2010). Užaugino du vaikus.

Mirė 2008 m. Panevėžyje. Palaidotas Panevėžio Šilaičių kapinėse šeimos kape. Kapą ženklina dviejų spalvų šlifuotų akmenų paminklinė kompozicija, dešiniojoje steloje iškaltas įrašas: "Liuda / Bagdonavičienė / 1934–1989 / Aleksiūnai / Romualdas / 1923–2008 / Vanda / 1929–2010".

R. Aleksiūno biografija publikuota Birutės Silevičienės atsiminimų ir dokumentų rinkinyje "Nutrūkusi kaimo styga..."