Gimimo data nustatyta pagal krikšto metrikų įrašą, pagal naująjį kalendorių – 1905 m. sausio 15 d., kitų šaltinių duomenimis – 1904 m. gruodžio 24 d.

Tėvai: Juozas Biliūnas (1869–1936) ir Marijona Rudokaitė-Biliūnienė (1883–1958) – valstiečiai žemdirbiai. Augo šeimoje, kurioje gimė šeši vaikai, bet užaugo tik keturi. Broliai: Jonas Biliūnas (1901–1945) – laisvės gynėjas Lietuvos kariuomenės savanoris, žemdirbys, Juozapas Biliūnas (1902–1934), Balys Biliūnas (apie 1907 – ?), Jurgis Biliūnas (1908–1909) – mirė kūdikystėje ir Kazimieras Biliūnas (1910–1911) – mirė kūdikystėje.

Dėdė (tėvo brolis) Jonas Biliūnas (1879–1907) – rašytojas, pusbroliai: (tėvo brolio Mykolo sūnūs) Jurgis Biliūnas (1888–1950) – žemdirbys ir savivaldos organizatorius, ir Jonas Biliūnas-Žolynas (1901–1945) – laisvės gynėjas, partizanų būrio vadas, (tėvo sesers Julijonos sūnus) Jurgis Juodelis (1897–1959) – teisininkas, emigrantas JAV, sūnėnas (brolio Juozo sūnus) Antanas Biliūnas (g. 1923 m.) – gydytojas.

1905 m. sausio 4 d. Andrioniškio bažnyčioje jį pakrikštijo šios bažnyčios kuratas, kunigas filialistas Jonas Baltušis, krikštatėviai buvo Kazimieras Juodelis ir Ksavera Biliūnienė, Antano Biliūno žmona.

Augo Andrioniškyje, nuo 1921 m. tėvams persikėlus – Pavirinčiuose. Baigė Andrioniškio pradžios mokyklą, 1919–1925 m. mokėsi Ukmergės valstybinėje gimnazijoje, kur baigė sustiprintą matematikos ir gamtos mokslų kursą, 1925–1930 m. studijavo Kauno Vytauto Didžiojo universiteto Humanitarinių mokslų fakultete Filologijos skyriuje lituanistiką ir istoriją, bet išstojo iš ketvirtojo kurso, baigęs devynis semestrus.

1926–1941 m. A. Biliūnas gyveno ir dirbo Ukmergėje. Paskirtas 1926 m. vasario 15 d., 1926–1928 m. jis buvo Ukmergės "Šviesos" draugijos žydų gimnazijos lietuvių kalbos ir Lietuvos istorijos mokytojas, kol 1928 m. rugpjūčio 1 d. iš šios gimnazijos pasitraukė. Paskirtas 1927 m. rugpjūčio 1 d., 1927–1938 m. jis buvo Ukmergės žydų realinės gimnazijos mokytojas. 1938–1940 m. jis dirbo Ukmergės valstybinės amatų mokyklos mokytoju, 1940–1941 m. – Ukmergės mokytojų seminarijos direktoriumi.

A. Biliūnas dalyvavo Laisvamanių etinės kultūros draugijos, nuo 1934 m. – Lietuvos Raudonosios pagalbos organizacijos veikloje.

1941 m. hitlerininkų jis su žmona buvo kalintas už antifašistines nuotaikas, bet užstojus įtakingiems ukmergiškiams buvo išlaisvintas ir persikėlė į Panevėžį.

1941–1944 m. A. Biliūnas dirbo Panevėžio miesto bibliotekos vedėju. 1944 m. jis grįžo į Ukmergę ir 1944–1946 m. vėl buvo Ukmergės mokytojų seminarijos direktorius.

1946 m. gegužės 13 d. Ukmergėje jis buvo suimtas ir kalinamas, 1946 m. gruodžio 30 d. nuteistas penkeriems metams kalėti už vokiečių okupacijos metais spaudoje paskelbtą novelę "Mirties traukiniai" (1942 m.) apie sovietinę deportaciją. Po pusės metų kalinimo Kaune, užtarus J. Paleckiui ir A. Venclovienei, 1947 m. gegužės 24 d. jis buvo paleistas.

1947–1965 m. A. Biliūnas dirbo Lietuvos knygų rūmuose bibliografu, 1947–1951 m. buvo ir Retrospektyvinės bibliografijos skyriaus vedėjas. Čia jis prisidėjo prie nacionalinės bibliografijos sudarymo, parengė bibliografinių leidinių, tarp jų – bibliografines rodykles "Didžiojo Tėvynės karo laikotarpio Lietuvos TSR spauda, 1941–1944" (su A. Ulpiu, R. Šarmaičiu, V. Aleksandravičiumi, T. Čyžu ir S. Misevičiene, 1955 m.), "Lietuvos TSR žurnalų ir laikraščių straipsniai, 1940–1941" (1958 m.), "Lietuvos TSR spauda, 1940–1955" (t. 1, kn. 2, 1964 m.), rengė bibliografijos ir bibliotekininkystės terminų žodyną.

Jis taip pat išvertė iš rusų kalbos metodinį leidinį – trumpą vadovą pradedančiajam bibliotekininkui Vasilijaus Denisjevo "Masinės bibliotekos darbas" (1951 m.), parengė metodinių ir instrukcinių leidinių bibliotekoms.

Su savo originalia grožine kūryba A. Biliūnas debiutavo 1923 m. "Aušrinėje". Vėliau "Lietuvos žiniose", "Kultūroje", "Trečiame fronte", almanache "Prošvaistės" ir kitur Aušros Varpelio slapyvardžiu paskelbė apsakymų, eilėraščių, publicistikos.

A. Biliūno parengtas eilėraščių rinkinys "Išpažintis Lietuvai" (1935 m.) smetoninės cenzūros buvo konfiskuotas už socialinį kriticizmą ir antifašistines nuotaikas.

Po Antrojo pasaulinio karo A. Biliūnas buvo Lietuvos rašytojų sąjungos narys.

Jis parašė ir išleido knygas "Baltieji šešėliai" (1968 m.) – 10 beletrizuotų memuarinių vaizdelių apie dėdės vaikystę ir jaunystę Aukštaitijos šiokiadienių aplinkoje ir "Puntuko akmuo" (1970 m.) – autobiografinės patirties padiktuotus apsakymus, iškeliančius knygos, švietimo reikšmę. A. Biliūno kūrybai būdingas etninis koloritas ir sąmoningas stilistinis artumas dėdės Jono Biliūno prozos lyrizmui.

Už nuopelnus sudarant ir išleidžiant 1940–1958 m. spaudos rodykles A. Biliūnas buvo apdovanotas Lietuvos SSR Aukščiausiosios tarybos prezidiumo garbės raštu (1959 m.).

Buvo vedęs, žmona Olga Aleksandra Imokaitė-Biliūnienė (1907–1968) – pedagogė, tarnautoja. Liko našlys. Duktė Lidija Biliūnaitė-Galdikienė (1930–2001) – teisininkė, sūnus Juozas Biliūnas – santechnikas meistras.

Mirė 1970 m. sausio 16 d. Vilniuje. Palaidotas Andrioniškio kapinėse. Kapą ženklina originalus akmeninis paminklas su metalinėmis lentelėmis – autentišką braižą liudijančiais įrašais.

Po mirties buvo išleistas A. Biliūno eilėraščių rinkinys "Rinktinė" (1974 m.), rankraščiuose liko jo dienoraščiai ir grožinė kūryba, rankraščiai saugomi A. Baranausko ir A. Vienuolio-Žukausko memorialiniame muziejuje.