Tėvai: Antanas Puodžiūnas (1863–1920) ir Uršulė Karvelytė-Puodžiūnienė (1864–1923) iš Bičionių. Augo septynių vaikų šeimoje su penkiais broliais ir seserimi. Broliai ir sesuo: Ona Puodžiūnaitė-Baltuškienė (1885–?), Antanas Puodžiūnas (1887–?) – emigrantas JAV, Juozapas Puodžiūnas (1890–?) – emigrantas JAV, Matas Puodžiūnas (1892–?) – darbininkas Panevėžyje, Kazimieras Puodžiūnas (1898–?) – miškininkas ir Petras Puodžiūnas (1899–1965) – ekonomistas Ukmergėje.

1888 m. liepos 28 d. Anykščių bažnyčioje jį pakrikštijo vikaras Kazimieras Kazimieraitis, krikštatėviai buvo valstiečiai Antanas Gražys ir Teklė Puodžiūnaitė.

Apie 1920 m. J. Puodžiūnas persikėlė iš Anykščių į Anykščių viensėdį, kur šalia Keblonių įsirengė sodybą ir ūkininkavo.

Apie 1931 m. jis pardavė savo sodybą ir su šeima apsigyveno žmonos tėviškėje Storiuose (Anykščių r.), kur pažangiai ūkininkavo 33 ha žemės sklype. Jo svetinguose namuose pradėjo veikti pirmasis kaime radijo imtuvas.

1924 m. jis buvo vienas iš Anykščių smulkaus kredito draugijos steigėjų, nuo 1925 m. iki gyvenimo pabaigos dirbo šios draugijos, atlikusios banko funkcijas, pirmininku. Iki 1928 m. jis buvo renkamas Anykščių valsčiaus valdybos nariu, buvo valdybos kasininkas.

Paskirtas 1928 m. lapkritį, 1928–1939 m., iki gyvenimo pabaigos, J. Puodžiūnas buvo Anykščių valsčiaus viršaitis, kelis kartus perrinktas į šias pareigas. Anykščių valsčiui 1939 m. priklausė 14 seniūnijų, kuriose buvo 13,7 tūkst. gyventojų.

J. Puodžiūnas taip pat buvo išrinktas Ugniagesių sąjungos Anykščių skyriaus revizijos komisijos nariu. Kiek laiko jis ėjo ir Anykščių pieno perdirbimo bendrovės "Šlavė" valdybos pirmininko pareigas. 1935 m. jis buvo tarp Ūkininkų savitarpio šelpimo draugijos steigimo iniciatorių. 1937 m. kartu su kitais anykštėnais jis įsteigė Lietuvių verslininkų klubą ir buvo jo narys.

J. Puodžiūnas buvo apdovanotas Savanorio kūrėjo medaliu ir Nepriklausomybės medaliu.

Susituokė 1921 m. lapkričio 24 d. Anykščių bažnyčioje, žmona Ona Riaubaitė-Puodžiūnienė (1900–1990) – žemdirbė ūkininkė. Vaikai: Ona Puodžiūnaitė-Černiauskienė (g. 1923 m.) – žemdirbė, Genovaitė Bronė Puodžiūnaitė-Rašimienė (1925–2009) – vaistininkė ir Vytautas Puodžiūnas (1926–2006) – inžinierius statybininkas, vadovas.

Sunkiai susirgęs, pusmetį J. Puodžiūnas buvo gydomas Kaune, bet nebepasveiko.

Mirė 1939 m. kovo 16 d. Storiuose (Anykščių r.). Palaidotas Anykščių senosiose kapinėse giminės kape. Kapą ženklina betoninis paminklas-stela su Aušros Vartų Dievo Motinos bareljefu ir įrašu akmens plokštėje: "A+A / Puodžiūnai / Jonas Ona / 1888–1939 1900–1990 / Jonas Riauba / 1862–1937 / Tu, Viešpatie, mūsų viltis".