Tėvai: Teofilis Balaišis (1898–1987) – Lietuvos Nepriklausomybės gynėjas ir Petronėlė Stankevičiūtė-Balaišienė (1902–1983) iš Mažeikiškio – žemdirbiai ūkininkai, turėjo 16 hektarų žemės. Buvo vyriausias vaikas šeimoje, kurioje iš penkių gimusių vaikų užaugo tik du. Broliai ir sesuo: Albinas Balaišis (1935–1941) mirė vaikystėje, Birutė Balaišytė (1941–1942) mirė vaikystėje, dvyniai Jonas Balaišis (1943–1943) mirė kūdikystėje ir Algirdas Balaišis (1943–2021). Giminaičiai: trečiosios eilės dėdė (tėvo senelio Jono brolio Jurgio sūnus) Teofilius Matulionis (1873–1962) – dvasininkas arkivyskupas, tikėjimo kankinys, antrosios eilės dėdė (tėvo tetos Uršulės sūnus) Jonas Pilka (1917–2002) – kunigas.

1933 m. kovo 5 d. buvo pakrikštytas Skiemonių bažnyčioje.

Mokėsi Juškonių (Anykščių r.) pradinėje mokykloje, Skiemonių progimnazijoje, 1951 m. baigė Anykščių vidurinę mokyklą. Paskatintas kunigo Aleksandro Papučkos gyvenimo pavyzdžio, pasirinko kunigo kelią ir 1951–1954 m. bei 1957–1958 m. studijavo Kauno tarpdiecezinėje kunigų seminarijoje.

1954–1957 m. B. Balaiša atliko privalomąją karinę tarnybą sovietinėje kariuomenėje, tarnavo darbo batalione Pečioroje (Komija, Rusija).

1958 m. kovo 23 d. Kauno arkikatedroje vyskupas Julijonas Steponavičius įšventino B. Balaišą kunigu. Pirmąsias Šv. Mišias 1958 m. balandžio 15 d. jis aukojo gimtosios Skiemonių parapijos bažnyčioje.

Paskirtas 1958 m. birželio 7 d., birželio–rugsėjo mėnesiais B. Balaiša buvo Dabužių (Anykščių r.) parapijos administratorius.

Perkeltas 1958 m. rugsėjo 13 d. ir išvykęs rugsėjo pabaigoje, 1958–1959 m. jis buvo vikaras Pakruojo Šv. Jono Krikštytojo bažnyčioje. Perkeltas  1959 m. rugpjūtį, 1959–1963 m. jis tarnavo Biržų Šv. Jono Krikštytojo bažnyčioje vikaru.

Paskirtas 1963 m. liepą, 1963–1974 m. B. Balaiša buvo Panevėžio Šv. apaštalų Petro ir Povilo bažnyčios vikaras, 1969–1974 m. – ir Uliūnų (Panevėžio r.) Kristaus Žengimo į dangų bažnyčios klebonas.

Paskirtas 1974 m. liepos 8 d., 1974–2005 m., iki gyvenimo pabaigos, B. Balaiša buvo Pandėlio (Rokiškio r.) Švč. Mergelės Marijos vardo parapijos klebonas, 1976–2005 m. – dar ir Panemunio (Rokiškio r.) Švč. Trejybės parapijos klebonas.

Pandėlyje jis 1974–1981 m. globojo altaristą Joną Morkvėną iki jo gyvenimo pabaigos, po jo mirties Pandėlio šventoriuje pastatė ten palaidotam dvasininkui antkapinį paminklą. 1993–1996 m. jis globojo ir sergantį kunigą altaristą Tadą Ivanovskį iki jo gyvenimo pabaigos.

Pandėlyje radęs nacionalizuotą ir kelių butų namu paverstą senąją kleboniją, jis nupirko privatų namą ir jame įrengė naują kleboniją, kurią vėliau kartu su visu sukauptu turtu paliko kaip savo dovaną parapijai, kad kiti kunigai turėtų įrengtą pastogę. Jis prižiūrėjo ir remontavo Padėlio ir Panemunio bažnyčias, atgautoje Panemunio klebonijoje įrengė parapijos namus.

1981 m. Pandėlyje jis surengė Kauno kunigų seminarijos 1958-ųjų laidos absolventų suvažiavimą, kuriame dalyvavo 13 iš 16 tais metais seminariją baigusių dvasininkų. Toks bendrakursių kunigų susibūrimas sovietinėje Lietuvoje buvo retas reiškinys.

Jis išsaugojo slapta jam patikėtą politinio kalinio kunigo Fabijono Kemėšio, suimto 1946 m. Pandėlyje, mokslinį darbą.

Lietuvos Atgimimo laikotarpiu B. Balaiša dalyvavo Lietuvos Sąjūdžio renginiuose Pandėlyje, juos pradėdamas bendra malda. Jis organizavo iškilmingus Pandėlio apylinkėse žuvusių partizanų palaikų perlaidojimus.

B. Balaiša 1989 m. lapkričio 23 d. atnaujino tikybos mokymą Pandėlyje – pravedė įžanginę tikybos pamoką Pandėlio internate, lapkričio 26 d. pradėjo dėstyti tikybą ir Pandėlio vidurinėje mokykloje, 1989–1999 m. buvo tikybos mokytojas. Jis įrengė ir aprūpino vaizdo aparatūra tikybos klasę, 2003 m. subūrė Pandėlio Šv. Onos ateitininkų kuopą ir 2003–2005 m., iki gyvenimo pabaigos, buvo jos dvasios tėvas. Jis finansiškai rėmė vaikus našlaičius, jaunųjų ateitininkų keliones.

B. Balaiša rašė ir publikavo straipsnius religine tematika, buvo Lietuvių katalikų mokslo akademijos narys. Jis parašė išsamius prisiminimus apie savo giminaitį vyskupą T. Matulionį (1997–1998 m.), remdamasis jųdviejų susirašinėjimo medžiaga, mašinraštis  saugomas giminės archyve.

Laisvalaikiu kaupė asmeninę biblioteką, dažniausiai skaitydavo lietuvių, lotynų, rusų, lenkų, anglų, prancūzų, vokiečių ir esperanto kalbomis, galėjo susikalbėti itališkai ir ispaniškai, talkino parapijiečiams, versdamas  tekstus. Jis taip pat mėgo keliauti, 1998 m. aplankė Fatimą – Švč. Mergelės Marijos apsireiškimų vietą Portugalijoje.

Mirė 2005 m. rugsėjo 28 d. Pandėlyje (Rokiškio r.). Palaidotas Pandėlio bažnyčios šventoriuje šalia kitų kunigų. Kapą ženklina juodo šlifuoto akmens paminklas-kryžius su portretine nuotrauka, iškalti įrašai: "A+A / Kunigas / Bronius Balaišis / 1933–2005" ir "Aš Viešpaties būste gyvensiu / per amžius ilgiausius. / Ps. 22".