Tėvai: Ignotas Vaškevičius ir Ona Grigaliūnaitė-Vaškevičienė – valstiečiai žemdirbiai. Augo penkių vaikų šeimoje su broliu ir trim seserimis. Sesuo Ona Vaškevičiūtė-? – emigrantė JAV, gydytoja, mecenatė.

1913 m. gruodžio 5 d. Linkuvos bažnyčioje jį pakrikštijo vikaras Mykolas Lovčikas, krikštatėviais buvo Antanas Grigas ir Ona Sabienė, Jono Sabo žmona.

1925–1928 m. baigė tris skyrius Rinkūnų (Pakruojo r.) pradžios mokykloje. Toliau nebesimokė, 1928–1932 m. dirbo šeimos ūkyje. Savarankiškai pasimokęs, išlaikė Linkuvos (Pakruojo r.) gimnazijos 4 klasės egzaminus ir 1932–1935 m. baigė Linkuvos gimnaziją. 1936–1943 m. studijavo Kauno tarpdiecezinėje kunigų seminarijoje, baigė licėjaus kursą bei filosofijos ir teologijos studijas.1942 m. vasario 28 d. buvo įšventintas subdiakonu.

1942 m. gruodžio 19 d. Kauno arkivyskupas Juozapas Skvireckas įšventino A. Vaškevičių kunigu. Kartu buvo įšventintas Albertas Perminas ir kiti kunigai – iš viso 18 klierikų.

Atvykęs 1943 m. balandį, A. Vaškevičius balandžio–rugpjūčio mėnesiais buvo gimtosios Linkuvos (Pakruojo r.) parapijos vikaras. 1943 m. gegužės–birželio mėnesiais iš Linkuvos jis buvo pasiųstas į Rozalimo (Pakruojo r.) parapiją pavaduoti sergantį kleboną.

Paskirtas 1943 m. rugpjūčio 26 d., 1943–1945 m. A. Vaškevičius tarnavo Traupio (Anykščių r.) Šv. Onos parapijos vikaru, talkino klebonams Jurgiui Šimonėliui ir Juozapui Mėliui. Prisimindamas savo pirmąją parapiją, jis visą gyvenimą palaikė ryšius su jos tikinčiaisiais, lankydavosi Traupyje ir bendravo su traupiečiais. 1945 m. pavasarį jis trumpai tarnavo Burbiškio (Anykščių r.) parapijoje, pavaduodamas susirgusį kleboną Igną Šaučiūną.

Paskirtas 1945 m. birželio 18 d., birželio–rugpjūčio mėnesiais jis buvo Vaškų (Pasvalio r.) parapijos vikaras kooperatorius.

Perkeltas 1945 m. rugpjūčio 21 d., rugpjūčio–spalio mėnesiais A. Vaškevičius tarnavo Salamiečio (Kupiškio r.) Šv. Antano Paduviečio parapijos administratoriumi.

Paskirtas 1945 m. spalio 29 d., 1945–1947 m. jis buvo Krekenavos (Panevėžio r.) vikaras. Nuo 1946 m. gruodžio jis pavadavo susirgusį Upytės (Panevėžio r.) parapijos kleboną.

Jo paties prašymu perkeltas 1947 m. vasario 3 d., vasarį–gegužę A. Vaškevičius tris mėnesius buvo vikaras Svėdasuose (Anykščių r.), kur talkino klebonui Antanui Survilai, ėmėsi tvarkyti miestelio kapines.

Tarnaudamas kaimiškose parapijose, A. Vaškevičius palaikė ryšius su laisvės gynėjais, tenkindamas jų dvasinius poreikius, o nuo sovietinių represijų išsisukdavo, dažnai keisdamas parapijas. Vis dėlto kelis kartus jis buvo suimtas ir tardytas, ištremti jo artimieji.

Perkeltas 1947 m. gegužės 8 d., gegužę–birželį jis buvo Krinčino (Pasvalio r.) vikaras.

Paskirtas 1947 m. birželio 29 d., 1947–1949 m. A. Vaškevičius buvo Zarasų parapijos vikaras ir Smėlynės (Zarasų r.) Šv. Kryžiaus Atradimo parapijos administratorius, sovietinės valdžios nurodymu įpareigotas gyventi Zarasuose. Jis telkė Smėlynės parapijiečius, sutvarkė parapijos kapines, bet vis vien šios parapijos bažnyčia sovietų valdžios netrukus buvo uždaryta.

Paskirtas 1949 m. gegužės 6 d., 1949–1957 m. A. Vaškevičius buvo Surdegio (Anykščių r.) Švč. Mergelės Marijos Ėmimo į dangų parapijos administratorius. Jis ėmėsi iniciatyvos tvarkyti apleistą bažnyčią, aptvėrė šventorių. 1955 m. jis parengė kraštotyros darbą "Papilių kapinės ir koplyčia".

Jo paties prašymu perkeltas 1957 m. kovo 16 d., 1957–1965 m. jis tarnavo Adomynės (Kupiškio r.) Švč. Mergelės Marijos Vardo parapijos administratoriumi. Adomynėje jo rūpesčiu buvo pastatyta nauja klebonija. Dėl jos statybų dvasininkas buvo persekiojamas, kaltinamas nusižengimais galiojančiai tvarkai.

Paskirtas 1965 m. balandžio 24 d., 1965–1966 m. pusantrų metų jis buvo Palėvenėlės (Kupiškio r.) Švč. Mergelės Marijos parapijos klebonas.

Paskirtas 1966 m. lapkričio 4 d., 1966–1976 m. jis buvo Panemunėlio (Rokiškio r.) Šv. Juozapo Globos parapijos klebonas.

Nuo 1976 m. balandžio 28 d. A. Vaškevičius vėl grįžo į Anykščių krašto parapiją ir 1976–1981 m. buvo Andrioniškio (Anykščių r.) Šv. Petro ir Povilo parapijos klebonas. Nuo 1976 m. vasaros jis kiek laiko administravo ir gretimą Viešintų (Anykščių r.) parapiją, kol sirgo jos klebonas.

Jo rūpesčiu Andrioniškyje buvo atlikta įvairių remonto darbų: pertvarkytos bažnyčios klausyklos, nudažytos zakristijos grindys, dekoruota klebonija ir joje įvesta kanalizacija (1976 m.), sutvarkytas bažnyčios prieangis, įrengta vitrina skelbimams, zakristijoje pastatytas altorius, sutvarkytas bažnyčios stogas (1977 m.), šventoriuje atstatytas misijų kryžius, perstatyta krosnis zakristijoje, padarytas naujas  kilnojamas altorius, praplatinti vartai į šventorių (1978 m.), nudažytas bažnyčios stogas, įrengtas įgarsinimas bažnyčioje ir subalansuoti jos varpai (1980 m.). Dvasininko iniciatyva buvo suderinti Andrioniškio bažnyčios vargonai ir fisharmonija, pakeisti trijų bažnyčios langų stiklai, įsigyta naujo liturginio inventoriaus.

1981 m. lapkričio 27 d. jis buvo perkeltas į Skapiškį (Kupiškio r.) ir 1981–1984 m. buvo Skapiškio Šv. Hiacinto (Jackaus) parapijos klebonas.

1983 m. liepos 14 d. A. Vaškevičius buvo skiriamas Smilgių (Biržų r.) Nukryžiuotojo Jėzaus parapijos administratoriumi, bet sovietų valdžios šis skyrimas buvo sulaikytas, dvasininkui neleista eiti naujas pareigas, todėl jis liko Skapiškyje.

1984 m. gegužės 30 d. jis buvo skiriamas Dambavos (Panevėžio r.) Dievo Apvaizdos parapijos administratoriumi. Negavęs būsto apsigyventi naujoje parapijoje, nuo šių pareigų jis buvo atšauktas.

Vis blogėjant sveikatai, 1984 m. rugpjūčio 22 d. jis pasitraukė į altariją ir 1984–1986 m. buvo Biržų Šv. Jono Krikštytojo parapijos altarista. 1986 m. vasarą jis buvo keliamas altarista į Krekenavą (Panevėžio r.), bet nematydamas ten galimybės gydytis, prašė galimybės praleisti senatvę Anykščiuose.

Nuo 1986 m. spalio 30 d. iki gyvenimo pabaigos jis praleido kaip altarista Anykščių Šv. Mato parapijoje, talkindamas klebonui monsinjorui Albertui Talačkai. Anykščiai dvasininkui buvo net 20-oji parapija, kur jam teko tarnauti. Nuo 1987 m. rudens jis administravo Inkūnų (Anykščių r.) Švč. Aušros Vartų Dievo Motinos parapiją, kol sirgo jos administratorius Jonas Labakojis.

Atgimimo metais A. Vaškevičius dalyvavo Sąjūdžio veikloje ir renginiuose, būrė Anykščių krikščionis demokratus, organizavo Bočių vakarones. Jis skaitė ir aukomis rėmė patriotinės pakraipos laikraštį "Žiburys", šelpė "Caritas" organizaciją, atvirai piktinosi dėl kunigų ir parapijiečių pasyvumo ir abejingumo Nepriklausomybės ir tautinio atgimimo reikalams.

Laisvalaikiu mėgdavo staliaus darbus, drožė ir dovanojo kryželius.

Mirė 1994 m. rugsėjo 23 d. Anykščiuose. Palaidotas Anykščių Šv. Mato bažnyčios šventoriuje. Kapą puošia iškilus medžio drožinys – Rūpintojėlio skulptūra, pastatyta jo paties iniciatyva 1991 m., jos mediniame postamente išdrožtas įrašas: "A+A / Kunigas / Antanas Vaškevičius / 1913–1994 /  Kristus sako: / aš esu gyvenimas / ir prisikėlimas". Kapavietę dengia lauko akmenų grindinys ir šlifuota juodo akmens plokštė su iškaltu įrašu "Kunigas / Antanas / Vaškevičius / 1913–1994".