Tėvai: Karolis Tvarkūnas (1884–1947) ir Marijona Druskytė-Tvarkūnienė (1906–1988) – žemdirbiai pasiturintys ūkininkai, turėjo 23 hektarus žemės. Šeimoje užaugo 8 vaikai, broliai ir seserys: Adelė Tvarkūnaitė-Anusienė (1925–2011) – laisvės gynėja, partizanų ryšininkė, nuo 1948 m. tremtinė, Juozas Tvarkūnas (1929 – iki 2015) – 1951–1958 m. tremtinys, Povilas Tvarkūnas (1931–?) – 1952–1958 m. tremtinys, likęs gyventi Krasnojarske (Rusija), Marijona Tvarkūnaitė-Barzdienė (1935–2017) – 1951–1958 m. tremtinė, rankdarbių meistrė, Stasys Tvarkūnas (1937–2015) – 1951–1958 m. tremtinys, Petras Tvarkūnas (1939–1999) – 1951–1958 m. tremtinys ir Antanas Tvarkūnas (1943–2023) – 1951–1958 m. tremtinys.

1942–1946 m. mokėsi Brazgių pradžios mokykloje, 1946–1947 m. baigė vieną klasę Balninkų (Molėtų r.) progimnazijoje. Mirus tėvui, toliau mokytis negalėjo ir 1947–1951 m. dirbo šeimos ūkyje.

1951 m. spalio 2 d. B. Tvarkūnas kartu su broliais Juozu, Stasiu, Petru, Antanu, seserimi Marijona, motina M. Tvarkūniene ir motinos mama Veronika Druskiene (1880–1953) kaip priskirti buožėms ir palaikę ryšius su laisvės gynėjais buvo ištremti į Ulazų kaimą (Novosiolovo r., Krasnojarsko kraštas, Rusija). Gyvendamas kolūkyje, jis prižiūrėjo avis ir karves, paskui 1952 m. įgijo mechanizatoriaus specialybę, 1952–1953 m. dirbo traktorininku ir kombainininku.

Gyvendamas tremtyje, B. Tvarkūnas nusipirko fotoaparatą "Smena", fiksavo juostoje tremtinių vestuves, laidotuves, kitus suėjimus, darė tremtiniams dokumentų nuotraukas. 1953–1958 m. jis dirbo kino mechaniku, dalyvavo koncertinėje agitbrigadoje, su kuria keliavo po Krasnojarsko kraštą.

Kai Tvarkūnai buvo pripažinti daugiavaike šeima, 1958 m. vasario 27 d. jie buvo paleisti iš tremties ir tą patį pavasarį grįžo į Lietuvą, apsigyveno Pageležiuose (Ukmergės r.), dirbo Plačiavos durpyne. Tais pačiais 1958 m. B. Tvarkūnas savo noru išvyko atgal į Novosiolovą (Krasnojarsko kraštas, Rusija) ir 1958–1959 m. ten dirbo kino mechaniku. Parvykęs į Lietuvą, 1959–1964 m. jis vėl gyveno Pageležiuose ir dirbo durpyne.

Nuo 1964 m. iki senatvės B. Tvarkūnas gyveno Meldučių kaime (Anykščių r.).

Nuo 1964 m. jis dirbo kolūkyje "Tarybinis artojas", jį pertvarkius, nuo 1978 m. – "Ateities" (nuo 1989 m. – Debeikių) kolūkyje elektromonteriu, dujininku, kol išėjo į pensiją.

Įsigijęs naujesnių fotoaparatų, B. Tvarkūnas sukūrė nuotraukų privatiems albumams, dokumentams, taip pat darė jas stendams, parodoms, kūrė Debeikių apylinkės vaizdo metraščius. Savo sodyboje jis įrengė muziejinę ekspoziciją, kurioje surinko kelių dešimtmečių fotografijų archyvą, taip pat sukaupė mėgėjiškų vaizdo įrašų 8 mm ir 16 mm kino juostose rinkinį. Už aktyvią veiklą jis buvo apdovanotas Lietuvos kino mėgėjų draugijos diplomu (1974 m.).

B. Tvarkūnas parengė Meldučių, Kalvelių ir Čekonių kaimų metraščius, išnykusių Ažubalių, Dembuvkos, Marimpolio kaimų istorijas. Nuo 1991 m. savo klėtelėje jis organizuodavo tradicinius Kalvelių, Meldučių ir Ažubalių kaimų gyventojų sambūrius "Sveiki, kaimynėliai".

Dalį savo etnografinių rinkinių, liudijančių Debeikių krašto XX a. istoriją, jis perkėlė į administracinį pastatą Debeikiuose, kur įrengė muziejinę ekspoziciją, joje pristatydamas šio krašto istoriją ir asmenines patirtis.

Senatvėje nuo 2024 m. rudens B. Tvarkūnas rezidavo Anykščių socialinės globos namuose Svėdasuose.

Nuo 1988 m. B. Tvarkūnas buvo tautodailininkas medžio drožėjas, kryžių meistras, sukūrė keliolika monumentalių kryžių, dešimtis kryželių ir bareljefų. Pirmasis jo išskobtas kryžius buvo pastatytas ant statybininko Ivano Botlingio kapo Debeikių (Anykščių r.) kapinėse (1988 m.), vėliau – ant literatės Janinos Cibienės kapo Peslių kapinėse. Jis taip pat sukūrė kryžius Anykščių rajono kaimuose: partizanų žūties vietoje I Žioguose (2001 m.), arkivyskupo Teofiliaus Matulionio tėviškėje Kudoriškyje (2001 m.), taip pat Rundžiuose, Jackagalyje, Paandrioniškyje (2003 m.), Margavonėje (2003 m.), Kalveliuose (2004 m.), Voversyse (2005 m.), Šlavėnuose (2005 m.), Trakiniuose (2006 m.), Vaičiuliškiuose (2017 m.). Jo sukurti kryžiai stovi Žemaitkiemio (Ukmergės r.) ir Burbiškio (Anykščių r.) bažnyčių šventoriuose, Adomynėje (Kupiškio r.), prie Žemaitkiemio Šv. Jono tilto (2007 m.). Jis pagamino altorius restauruotoms Papšių ir Čekonių kaimų (Anykščių r.) koplyčioms, restauravo Čekonių kapinių vartus.

Jis buvo Debeikių (Anykščių r.) kultūros namų ansamblio dainininkas, Debeikių Šv. Jono Krikštytojo bažnyčios choro choristas ir pastoracinės tarybos narys, Debeikių bažnyčios varpininkas, nuo 1992 m. – Lietuvos politinių kalinių ir tremtinių sąjungos Anykščių skyriaus narys.

B. Tvarkūnas tremties išgyvenimus bei savo šeimos istoriją aprašė knygoje "Į Sibiro tremtį : 1951–1958" (išleista keliais egzemplioriais 2006 m.), o knygoje "Tėviškės ilgesys" (2008 m.) – gimtojo Brazgių kaimo istoriją. Jo tremties prisiminimai "Iš tremties į sunaikintą tėviškę" publikuoti politinių kalinių ir tremtinių prisiminimų rinkinyje "Gyvoji atmintis" (2010 m.). Jis parengė Meldučių, Kalvelių ir Čekonių kaimų iliustruotus metraščius, kuriuose perdavė saugoti Debeikių bibliotekai (2022 m.).

B. Tvarkūnui suteiktas Debeikiečių bendrijos Garbės nario vardas (2011 m.). Jis apdovanotas Lietuvos politinių kalinių ir tremtinių sąjungos medaliu "Už nuopelnus Lietuvai" (2018 m.). Lietuvos Respublikos 100-mečio proga jis apdovanotas Anykščių rajono savivaldybės "Šimtmečio anykštėno" atminimo ženklu (2018 m.).

Jo gyvenimas ir veikla pristatoma biobibliografiniame žodyne "Anykščių tautodailininkai" (2024 m.).

Laisvalaikiu rinko ir eksponuodavo senienas, drožinėjo suvenyrus, kūrė pastatų modelius, mėgo piešti.

Vedė 1962 m., žmona Laima Ona Vilytė-Tvarkūnienė (g. 1940 m.). Sūnus Valentinas Tvarkūnas (g. 1963 m.) – inžinierius, duktė Jolita Tvarkūnaitė-Kontrimavičienė (g. 1969 m.) – kirpėja, visuomenininkė.

Mirė 2026 m. gegužės 2 d. Svėdasuose (Anykščių r.), slaugomas globos namuose ir gydomas Anykščių ligoninėje. Palaidotas Anykščių naujosiose kapinėse.