Tėvai: Mykolas Vembrė ir Ona Valentinavičiūtė-Vembrienė – valstiečiai žemdirbiai. Sūnėnai (brolio sūnūs): Stanislovas Vembrė (1900–1954) – kunigas, emigrantas JAV, ir Mykolas Vembrė (1904–1971) – kunigas žydų gelbėtojas, emigrantas JAV.

1862 m. rugsėjo 24 d. Pakruojo bažnyčioje jį pakrikštijo vikaras Stanislovas Vaitkevičius, krikštatėviais buvo valstiečiai Pranciškus Valentinavičius ir Uršulė Vembrytė.

1880 m. baigė šešias klases Liepojos (Latvija) gimnazijoje. 1881–1885 m. studijavo Kauno Žemaičių kunigų seminarijoje.

1885 m. rugsėjo 31 d. J. Vembrė buvo įšventintas kunigu.

1885–1889 m. jis tarnavo vikaru Tauragėje, 1889–1890 m. buvo Naujamiesčio (Panevėžio r.) parapijos vikaras, 1890–1893 m. – Joniškio vikaras.

1893–1896 m. jis buvo Pliusų (dabar – Baltarusija) kunigas filialistas, 1896–1901 m. – Vaitkuškio (Ukmergės r., dabar – Pašilės bažnyčia Ukmergėje) kunigas filialistas. 

1901–1914 m. J. Vembrė buvo Anykščių Šv. Mato parapijos klebonas. Jis perėmė mirusio Ferdinando Ūselio ir vikaro Kazimiero Grinkevičiaus pradėtą naujos Anykščių bažnyčios statybą – iki stogo sumūrytas naujo pastato sienas. Jo pastangomis, parapijiečių rūpesčiu bei lėšomis iki 1909 m. buvo pastatyta dabartinė mūrinė bažnyčia, nugriauta senoji varpinė. Anykščiuose jis ugdė vikarus: 1901–1902 m. – Juozapą Bublį, 1902–1904 m. – Kazimierą Skripką, 1904–1905 m. – Antaną Šufinską, 1905–1906 m. – Ignotą Veblauską, 1906–1907 m. – Antaną Strazdą, 1906–1910 m. – Jurgį Gogelį, 1908–1911 m. – Ignotą Bandziulį, 1909–1911 m. – Joną Ivanauską, 1911–1913 m. – Joną Šinkūną, 1911–1913 m. – Antaną Braknį, 1912–1913 m. – Adolfą Bielskį ir Norbertą Pakalnį, 1913–1914 m. – Petrą Račą.

Būdamas palankus knygnešiams ir lietuvybės veiklai, J. Vembrė Anykščiuose padėjo papirkti caro žandarus ir išlaisvinti jų suimtą knygnešę Adelę Kavoliūnaitę.

1907 m. Anykščiuose J. Vembrė įkūrė ir pirmąją viešą lietuvišką biblioteką. Tai buvo parapijos biblioteka, sukaupusi 200–250 knygų.

J. Vembrė buvo Anykščių Blaivybės draugijos pirmininkas, viešai reiškė nepakantumą girtavimui. 1912 m. jis ėmėsi iniciatyvos steigti prieglaudą Anykščių benamiams ir elgetoms, bet vietos valdžios pritarimo ir finansinės paramos patalpoms remontuoti nesulaukė.

Po Anykščių parapijiečių skundų dėl neva nedoro sesers elgesio ir tikinčiųjų supriešinimo 1914 m. pavasarį J. Vembrė buvo perkeltas į mažą nuošalią parapiją. 1914–1915 m., iki gyvenimo pabaigos, jis buvo Lyduokių (Ukmergės r.) Šv. arkangelo Mykolo parapijos klebonas, prašė bažnytinės vyresnybės būti sugrąžintas į Anykščius.

Lyduokiuose jis iškart ėmėsi visuomeninės veiklos: įsteigė Blaivybės draugijos skyrių, vietiniams dvarininkams talkinant 1915 m. pavasarį atidarė arbatinę. Jo inciatyva buvo skubiai pradėta remontuoti labai apleista Lyduokių bažnyčia, sutvarkytas jos fasadas.

Mirė 1915 m. spalio 24 d. Lyduokiuose (Ukmergės r.). Palaidotas Lyduokių bažnyčios šventoriuje. Kapą ženklina balta betoninė Švč. Mergelės Marijos statula ant lauko riedulių mūro postamento, prie jo pritvirtinta nauja šlifuoto akmens plokštė su iškaltu įrašu: "Lyduokių / parapijos klebonas / kunigas / Juozapas / Vembrė / 1862–1915 / Dėkingi parapijiečiai".

J. Vembrės gyvenimas ir veikla pristatomi Benjamino Kaluškevičiaus ir Kazio Misiaus žinyne "Lietuvos knygnešiai ir daraktoriai 1864–1904" (2004 m.) ir šio žinyno 2-ojoje knygoje (2014 m.).