Tėvai: Juozapas Papučka (apie 1862 – 1915) ir Anelė Augulytė-Papučkienė (1870–1933) – žemdirbiai ūkininkai, turėję valaką žemės Sausalaukės kaime. Buvo jauniausias, aštuntas vaikas šeimoje. Seserys: Marijona Papučkaitė-Indriūnienė (1899–1984) – žemdirbė, Ona Papučkaitė-Balaišienė – žemdirbė, giedotoja, tremtinė, Sofija Papučkaitė (1905–?) – neregė, giedotoja. Dar trys broliai ir viena sesuo mirė maži: Steponas Papučka (1903–?), Anelė Papučkaitė (1906–?) ir kt. Sūnėnas (sesers Marijonos sūnus) Algimantas Indriūnas (1937–2023) – inžinierius restauratorius, visuomenininkas.

1914 m. vasario 17 d. Svėdasų bažnyčioje jį pakrikštijo vikaras Antanas Strazdas, krikštatėviais buvo Antanas Gimbutis ir Marijona Laurelytė.

Tėvui anksti mirus, augo su motina ir seserimis Sofija ir Marijona Sausalaukės kaime, kur įsikūrė vyriausiosios sesers Marijonos šeima ir buvo visas sujungtas ūkis. 1922–1926 m. mokėsi Svėdasų pradžios mokykloje, 1926 m. pradėjo mokytis Užpalių (Utenos r.) keturklasėje vidurinėje mokykloje, tačiau susirgo ir paliko mokslą, pasveikęs liko silpno regėjimo.

Nuo 1927 m. A. Papučka pas Svėdasų vargonininką Petrą Vinkšnelį keletą metų mokėsi vargonininkauti, dirbdamas žemės ūkio darbus. Išmokęs groti armonika, kartu su svėdasiškiais Algirdu Jurevičiumi ir Jonu Kasčiu-Kastečka įkūrė kaimo kapelą, subūrė Svėdasų mergaičių mažąjį "Valandų" chorelį ir jam vadovavo.

1931–1932 m. A. Papučka buvo Andrioniškio (Anykščių r.) bažnyčios vargonininkas, 1932–1938 m. – Adomynės (Kupiškio r.) bažnyčios vargonininkas. Dirbdamas Adomynėje, jis vadovavo įvairioms katalikiškoms organizacijoms, skaitė paskaitas, ruošdavo vaidinimus, lavino chorą, sportuodavo.

1938 m. jis eksternu išlaikė baigiamuosius keturių klasių egzaminus Kupiškio gimnazijoje ir išvyko į Kauną. 1938–1940 m. jis savarankiškai mokėsi, eksternu laikė egzaminus ir baigė dar dvi gimnazijos klases. 1940–1946 m. A. Papučka studijavo Kauno tarpdiecezinėje kunigų seminarijoje.

Baigusį mokslus, 1946 m. balandžio 6 d. Kauno Jėzuitų bažnyčioje Kaišiadorių vyskupas Teofilius Matulionis A. Papučką įšventino subdiakonu, o balandžio 7 d. – diakonu. 1946 m. birželio 16 d. Kauno arkikatedroje bazilikoje Panevėžio vyskupas Kazimieras Paltarokas jį įšventino kunigu. Primicijas šventė Kaune, Adomynėje ir Svėdasuose.

1946–1947 m. A. Papučka buvo vikaras Vabalninke (Biržų r.), ten pirmiausia išgarsėjo kaip nuoširdžiai su žmonėmis bendraujantis dvasininkas, tapo populiarus, todėl susibarė su vietine valdžia ir pasiprašė perkeliamas kitur.

1947 m. nuo rugpjūčio iki lapkričio jis buvo vikaras Anykščiuose, talkino tituliniam klebonui Jurgiui Žitkevičiui ir parapijos administratoriui vikarui adjutoriui Vincentui Arlauskui. Čia A. Papučka ugdė tikinčiųjų giedojimo meną, ragino melstis giesmėmis. Bandydamas apsaugoti aktyvų vikarą nuo valdžios persekiojimo, Panevėžio vyskupas jį iškėlė iš Anykščių.

1947–1949 m. A. Papučka buvo Salako (Zarasų r.) vikaras. Čia pasižymėjo kaip uolus dvasininkas ir iškalbingas pamokslininkas, irgi ugdė choristus, nelegaliai kaimuose organizavo valdžios draudžiamą "Gyvąjį Rožinį". Šalia vikaro pareigų jis buvo gavęs vyskupo nurodymą laikyti pamaldas ir Degučių (Zarasų r.) bažnyčioje, bet ten buvusią bažnyčią valdžia netrukus uždarė. Keletą mėnesių jis dirbo Antalieptės (Zarasų r.) parapijos administratoriumi.

1950–1964 m. A. Papučka buvo Skiemonių (Anykščių r.) Švč. Mergelės Marijos Aplankymo parapijos klebonas. 1951–1952 m. jam taip pat buvo leista kartą per mėnesį aukoti Šv. Mišias ir Burbiškio (Anykščių r.) Švč. Jėzaus Širdies bažnyčioje. Jis taikiai sugyveno su skirtingų įsitikinimų vietiniais žmonėmis, rodė ypatingą pagarbą mirusiesiems, artimiausiai bendravo su Skiemonių vaistininku Steponu Žvirbliu.

Jam tarnaujant klebonu Skiemonyse, šios parapijos Janonių kaime (Molėtų r.) 1962 m. liepos 13–14 d. Romutei Macvytei-Matiukaitei apsireiškė Švč. Mergelė Marija. Į apsireiškimo vietą – vienintelę šiame krašte – vėliau ėmė plūsti maldininkai, todėl klebonas buvo sovietinės valdžios persekiojamas, kaltinamas apsireiškimo garbinimo skatinimu ir iškeltas dirbti į nuošalias parapijas.

1964–1965 m. A. Papučka buvo Surdegio (Anykščių r.) Švč. Mergelės Marijos Ėmimo į dangų parapijos klebonas. Surdegyje jis suaktyvino choristų veiklą, skatino žmonių bendravimą pobūviuose ir pats juos rengdavo, eidavo praustis į bendras pirtis, taip skatindamas žmonių palankumą bažnyčiai. Jis taip pat išpopuliarino bažnyčios rūsyje tryškusį šaltinėlį. Tokia dvasininko veikla nuolat kliūdavo sovietinei valdžiai, todėl jam buvo ieškoma dar nuošalesnės parapijos.

1965–1977 m. A. Papučka buvo Kupreliškio (Biržų r.) Šv. arkangelo Mykolo parapijos klebonas. Pasikvietęs į talką jaunystės draugą Joną Kastį-Kastečką, jis suremontavo apleistą bažnyčią, perdažė ją ir įrengė naujas Kryžiaus stotis, sutvarkė šventorių ir parapijos ūkio patalpas. 1975–1977 m. jis aptarnavo ir Papilio (Biržų r.) parapiją.

Kunigas A. Papučka visur pasižymėjo gailestingumu ir optimizmu, širdies paprastumu ir sielos giedrumu, šelpė varguolius ir rasdavo paguodos žodį. Mirusius parapijiečius jis pats eidavo apgiedoti, už patarnavimus iš neturtingųjų nieko neimdavo, dar pats juos sušelpdavo pinigais.

Laisvalaikiu grodavo pianinu, fisharmonija, akordeonu, gitara, vargonais ir net specialiu vienrankiu pjūklu, išgaudamas juo melodiją lyg smuiku.

Mirė 1977 m. birželio 16 d. Kupreliškyje (Biržų r.). Palaidotas Kupreliškio Šv. arkangelo Mykolo bažnyčios šventoriuje esančiose kapinėse. Kapą ženklina akmeninis paminklas-stela su iškaltu Švč. Mergelės Marijos bareljefu ir horizontalus paminklinis akmuo su iškaltu tekstu: "A+A / Kun. Aleksandras / Papučka / 1914–1977 / Kupreliškio klebonas" bei paties dvasininko pasirinktais žodžiais: "Tavyje, o Dieve, visa mano viltis!" (autorius – skulptorius Dominykas Čepas).

Išleista kunigo Stepono Galvydžio 1978 m. parašyta biografinė knyga "Kunigas Aleksandras Papučka" (1997 m.), kunigo Edmundo Rinkevičiaus atsiminimų knygelė "Tavyje, o Dieve, visa mano viltis" (1998 m.), Birutės Žemaitytės sudarytas prisiminimų apie kunigą A. Papučką rinkinys "Kunigas Aleksiukas" (2017 m.). Išsami A. Papučkos biografija pateikta Romualdo Vytauto Rimšos sudarytame rinkinyje "Svėdasai : praeitis ir dabartis : teminis straipsnių rinkinys. T. 1" (2012 m.).

Svėdasiškių draugija "Alaušas" 2016 m. įsteigė ir 2016–2023 m. kasmet rugsėjį, per tradicines Vaižgantines Maleišiuose (Anykščių r.), teikė Aleksandro Papučkos "Meilės ir gerumo" premiją, kuri buvo skiriama jaunimo atstovams už atliktus gerus darbus ar sukurtus rašinius. Šios premijos laureatais tapo: Aušrinė Neniškytė (2016 m.), Greta Šinkūnaitė (2017 m.), Martynas Jakutis (2018 m.), Živilė Pečiulytė (2019 m.), Gvidas Eigelis (2020 m.), Erika Raštutytė (2021 m.), Neringa Matulevičiūtė (2022 m.) ir Nojus Jakubonis (2023 m.). Mirus premijos steigimo iniciatoriui Algimantui Indriūnui, jos teikimas nutrūko.