Gimimo data pagal naująjį kalendorių – 1885 m. sausio 19 d.

Tėvai: Jonas Meškauskas (1853–1918) ir Barbora Kavoliūnaitė-Meškauskienė (1857–1918) iš Piktagalio – valstiečiai žemdirbiai. Augo gausioje šeimoje, kurioje užaugo septyni vaikai, buvo vyriausias vaikas. Broliai ir seserys: Matas Meškauskas (1887–1977) – vargonininkas, Mykolas Meškauskas (1889–1889) – mirė kūdikystėje, Anelė Meškauskaitė-Vaitiekūnienė (1890–1968), Emilija Meškauskaitė-Gogelienė (1893–?), Karolina Meškauskaitė (1896–1918) – mirė jaunystėje, Ona Meškauskaitė-Vaičiūnienė (1898–1974) ir Antanas Meškauskas (1900–1975). Giminaičiai: (sesers Anelės vyro broliai) Petras Vaitiekūnas (1889–1946) – kunigas ir Jonas Vaitiekūnas (1894–1963) – kunigas teologas, mecenatas.

1885 m. sausio 9 d. Anykščių bažnyčioje jį pakrikštijo vikaras Pranciškus Lukšas, krikštatėviai buvo Pranciškus Kavoliūnas ir Veronika Meškauskaitė.

Baigė Anykščių pradžios mokyklą ir keturių klasių Ukmergės progimnaziją. 1907–1912 m. baigė Kauno Žemaičių kunigų seminariją. 

1912 m. gegužės 14 d. buvo įšventintas kunigu.

1912–1914 m. A. Meškauskas buvo vikaras Ariogalos (Raseinių r.) Šv. arkangelo Mykolo parapijoje, 1914–1918 m. tarnavo vikaru Subačiaus (Kupiškio r.) Švč. Trejybės parapijoje. Pirmojo pasaulinio karo metais jis trumpam buvo areštuotas ir kalintas.

1918 m. vasarį mirus Traupio (Anykščių r.) Šv. Onos parapijos klebonui Stanislovui Šliogeriui, A. Meškauskas buvo paskirtas šios parapijos administratoriumi ir 1918 m. pavasarį porą mėnesių ėjo šias pareigas, kol perdavė jas Domininkui Tuskeniui. Jis ištvėrė itin sunkų vokiečių okupacijos pabaigos laikotarpį, kai siautėjo vidurių šiltinės epidemija, patyrė valdžių kaitos sunkumus.  

Perkeltas 1918 m. gegužę, 1918–1921 m. A. Meškauskas buvo Surdegio (Anykščių r.) bažnyčios kuratas, kunigas filialistas. Jis pradėjo laikyti pamaldas rusų stačiatikių vienuolyno 1915 m. paliktame ir vokiečių administracijos katalikams perduotame buvusios cerkvės pastate. A. Meškausko rūpesčiu buvo pertvarkomas Surdegio cerkvės pastatas į katalikų bažnyčią, suremontuotas fasadas. Už tokią iniciatyvą 1919 m. pavasarį bolševikai kunigą buvo suėmę ir dvi savaites kalino Kupiškio kalėjime, grasino sušaudyti. Išleistas be jokių kaltinimų kunigas dar kiek laiko turėjo slapstytis, kol bolševikai buvo išstumti į Rytus. 

Pasikeitęs vietomis su Smilgiuose tarnavusiu Vincentu Kemėšiu, 1922–1927 m. jis buvo Smilgių (Panevėžio r.) Šv. Jurgio parapijos klebonas, rūpinosi atnaujinti pasenusią bažnyčią, bet karo nualintoje parapijoje pradėti statybų neįstengė.

1927–1935 m. A. Meškauskas buvo Viešintų (Anykščių r.) Šv. arkangelo Mykolo parapijos klebonas. Jo iniciatyva į Viešintų bažnyčios bokštą buvo įkelti ir iki šiol skamba trys varpai: Šv. arkangelo Mykolo (510 kg), Jėzaus Širdies (250 kg), Šv. apaštalo Povilo (150 kg).

1928–1929 m. Viešintų parapijoje A. Meškauskas subūrė katalikišką organizaciją "Baltasis žirgas" ir buvo jos vadovas. Šios organizacijos nariai – katalikai vyrai – buvo priešiškai nusistatę vietinių šaulių atžvilgių ir bandė kenkti jų organizuotai veiklai, bet savo veiklos neišplėtojo.

1935 m. palaidojęs pamaldų savižudį Viešintų vaistininką šventintoje kapų žemėje, dvasininkas sulaukė parapijiečių pasipiktinimo, buvo įtartas savanaudiškumu ir piktnaudžiavimu, todėl pasiprašė perkeliamas į kitą parapiją.

Pasikeitęs vietomis su Petru Liepa, 1935–1949 m. A. Meškauskas buvo Skiemonių (Anykščių r.) Švč. Mergelės Marijos Aplankymo bažnyčios kuratas, Alantos parapijos kunigas filialistas. Jis pasižymėjo įpročiu sakyti filosofinius, eiliniams parapijiečiams sunkiai suprantamus pamokslus. Kunigas rėmė seminaristus, mėgdavo važinėti į atlaidus, liudininkų pasakojimu – smarkiai rūkė, vis žadėdamas mesti, ir lošė kortomis preferansą.

1944 m. vasario 16 d. A. Meškauskas Skiemonių bažnyčioje pakrikštijo Romą Prancišką Macvytę – Janonių regėtoją. Tarnaudamas Skiemonyse, jis artimai bendravo su Skiemonių vaistininku Steponu Žvirbliu.

Po Antrojo pasaulinio karo prasidėjus partizaninei kovai, kunigas A. Meškauskas aktyviai rėmė laisvės gynėjus, rengė pamaldas jų dvasiai stiprinti, priimdavo išpažintis. Jis buvo vienas iš dvasininkų, laiminusių Kazio Tylos Žaliosios rinktinės kovos pradžią slaptose nakties pamaldose Burbiškio (Anykščių r.) bažnyčioje 1944 m. gruodžio 20 d.

Nekaltai įskųstas, 1949 m. lapkričio pabaigoje A. Meškauskas buvo areštuotas, nuteistas 10 metų kalėti ir 1949–1953 m. kalinamas Abezės lageryje Intos rajone (Komija, Rusija).

1953 m. pabaigoje amnestuotas ir grįžęs į Lietuvą, 1953–1954 m. jis gyveno kaip altarista Dusetose (Zarasų r.), 1954–1959 m. – Troškūnuose (Anykščių r.), kur talkino silpnos sveikatos klebonui Antanui Baltrukėnui. 1958 m. pavasarį ir vasarą kelis mėnesius jis administravo Dabužių (Anykščių r.) parapiją.

Nuo 1959 m. iki gyvenimo pabaigos jis buvo altarista Raguvoje (Panevėžio r.), iš pradžių talkino klebonui Petrui Adomoniui, paskui Antanui Petrauskui, išgarsėjo kaip uolus nuodėmklausys. Ten jis 1962 m. atšventė kunigystės 50-metį, buvo kunigas jubiliatas.

1975 m. Raguvoje paminėjęs savo 90-metį, tuo metu jis buvo vyriausias Panevėžio vyskupijos kunigas, iki gilios senatvės išsaugojęs šviesų protą.

A. Meškausko rūpesčiu buvo sutvarkytas šeimos kapas Anykščių senosiose kapinėse, pastatytas paminklinis kryžius tėvams ir seserims.

Mirė 1979 m. balandžio 22 d. Raguvoje (Panevėžio r.). Palaidotas Raguvos kapinėse. Kapą ženklina tamsiai pilko šlifuoto akmens paminklas-kryžius su iškaltais įrašais: "A+A / Kunigas / Anicetas / Meškauskas / 1885–1979" ir "Gyvenimo kovą baigiau – / užmokestis amžinybėje".