Tėvai: Balys Tvardauskas (1911–1992) – žemdirbys, kaimo amatininkas, ir Antanina Paproctaitė-Tvardauskienė (1909–1984) – žemdirbė. Brolis Edvardas Tvardauskas (g. 1934 m.) – ekonomistas finansininkas.

1945–1953 m. mokėsi Degučių (Zarasų r.) septynmetėje mokykloje, 1953–1955 m. tęsė mokslą Utenoje, 1955–1963 m. – Kauno Stepo Žuko taikomosios dailės technikume, įgijo dailininko apipavidalintojo specialybę.

1963–1966 m. J. Tvardauskas dirbo Zarasų internatinės ir Degučių (Zarasų r.) aštuonmetės mokyklų mokytoju.

1966–1967 m. jis gyveno Kėdainiuose, kur trumpai dirbo mokytoju, 1967–1970 m. buvo įsikūręs Šiauliuose ir 1967–1970 m. buvo Panevėžio suvenyrų gamybos įmonės "Tulpė" Šiaulių cecho vadovas.

Nuo 1970 m. iki gyvenimo pabaigos J. Tvardauskas gyveno ir kūrė Anykščiuose.  1970–1977 m. jis dirbo Plungės liaudies meno gaminių įmonės "Minija" meistru, etalonų kūrėju. 1979–1999 m. jis buvo Anykščių kultūros rūmų meninio apipavidalinimo dirbtuvių dailininkas, kol išėjo į pensiją.

Medžio drožinius jis kūrė ir eksponuodavo nuo 1954 m., pirmieji jo mokykliniai darbai saugomi Stelmužės (Zarasų r.) liaudies meno muziejinėje ekspozicijoje. Nuo 1965 m. iki gyvenimo pabaigos jis nuolat dalyvaudavo tautodailės parodose. 2007 m. jam buvo suteiktas meno kūrėjo statusas.

J. Tvardauskas nuo 1974 m. buvo Liaudies meno draugijos (nuo 1989 m. – Lietuvos tautodailininkų sąjungos) narys, 1977–1991 m. buvo Anykščių sekcijos, Anykščių skyriaus pirmininkas.

Jis dalyvavo medžio drožėjų stovyklose Juodkrantėje, Birštone, Utenoje, Plungėje, Anykščiuose. J. Tvardauskas dirbo tarptautiniame simpoziume Nepomuke (Čekija, 1998 ir 1999 m.), visur paliko savo darbų, buvo kūrybinių konkursų nugalėtojas.

Jo darbų turi įsigiję Amerikos lietuviai, šeši jo kūriniai (Liongino Šepkos portretas, "Jono Biliūno šeimyna", "Sausio 13-oji", Anykščių tremtinių kryžiaus kopija ir kiti) nuo 1993 m. eksponuojami Lemonto liaudies meno muziejuje Čikagoje (JAV), dešimčia J. Tvardausko medžio bareljefų istorine tematika buvo apipavidalinta "Bočių menė" Lemonte (JAV, 1993 m.), jo drožtos kryžiaus kelio stotys (15 bareljefų) sumontuotos Valgos (Estija) bažnyčioje (2002–2003 m.). J. Tvardausko sukurtos ąžuolinės memorialinės lentos žymi istorinės svarbos Anykščių krašto vietas.

J. Tvardauskas sukūrė ir išdrožė iš ąžuolų daug monumentalių darbų, kurie viešosiose Lietuvos erdvėse įamžino įvairius įvykius, vietoves ir žmones.

Žymiausi J. Tvardausko medžio drožiniai:

1978 m. – skulptūrinė grupė "Eik po velnių su savo kortomis" Plungėje (kartu su Antanu Klovu).

1986 m. – dekoratyvinis pano Svėdasų (Anykščių r.) Juozo Tumo-Vaižganto gimnazijoje, antkapinis paminklas – koplytėlė ant Vanagų šeimos kapo Anykščių kapinėse, antkapinis paminklas ant knygnešio Jono Tumo kapo senosiose Rubikių kapinėse, rodyklė Rubikių ežero Didžiojoje saloje.

1987 m. – skulptūros "Pamergė" ir "Vaikai" Vestuvių kalne Utenoje.

1988 m. – koplytėlė su Šv. Marija Birštono "Atminties take".

1989 m. – dekoratyvinis pano "Gyvenimo akimirkos" Svėdasų kultūros namuose, Tremtinių kryžius šalia Anykščių senųjų kapinių (su Liudu Tarabilda), memorialinė lenta prie senosios Kunigiškių (Anykščių r.) pradžios mokyklos, bareljefas "Medžiotojai" Anykščiuose, dekoratyvinis pano buvusioje užeigoje "Nykštys" Anykščiuose (neišlikęs).

1990 m. – koplytstulpio su Jėzaus Nazariečio skulptūra kopija Starkakampyje (Anykščių r.), skulptūrų "Kančia" ir "Šv. Petras" kopijos koplytstulpyje, pastatytame 1928 m. Žaliojoje (Anykščių r.), antkapinis paminklas Sapkauskų šeimai Anykščių naujosiose kapinėse, stogastulpis inžinieriui Steponui Kairiui Užunvėžiuose (Anykščių r.), Tremtinių kryžius Zarasų bažnyčios šventoriuje, dekoratyvinis pano šermenų patalpoje Panevėžio Švč. Trejybės bažnyčioje, memorialinė lenta – bareljefas prie Bronės Buivydaitės namo-muziejaus Anykščiuose, rodyklė "Anykščių centrinė ligoninė" prie senosios Anykščių ligoninės (2012 m. perkelta prie Anykščių naujosios ligoninės).

1991 m. – atkurtas dievdirbio Lunskaus stogastulpis Storiuose (Anykščių r.), stogastulpis "Ganyklų vaikai" rašytojo Stepo Zobarsko gimtinėje Pamaleišyje (Anykščių r.), stogastulpis su Šv. Jono Nepomuko bareljefu Maironio tėviškėje Pasandravyje (Raseinių r.), kryžius su Nukryžiuotojo skulptūra kaimui atminti kunigo Gintaro Petronio gimtojoje sodyboje Kloviškių kaime (Zarasų r.), dekoratyvinis pano "Smagu draugų būry" Anykščių kultūros rūmuose, rodyklė "Vosgėliai", antkapinis paminklas Švenčionių kapinėse.

1992 m. – kryžius su drožiniais ir koplytėlėmis prie Debeikių (Anykščių r.) naujųjų kapinių vartų, stogastulpis Lietuvos Nepriklausomybės Akto signataro Stepono Kairio gimtinėje Užunvėžiuose (Anykščių r.), memorialinė lenta Teresei Mikeliūnaitei prie A. Baranausko ir A. Vienuolio-Žukausko memorialinio muziejaus administracinio pastato Anykščiuose, bareljefas "Mugė" privačioje kolekcijoje Čikagoje (JAV). 

1993 m. – skulptūrinė kompozicija "Lietuvos karalius Mindaugas" prie Šeimyniškėlių (Anykščių r.) piliakalnio, koplytstulpis žuvusiems už Lietuvos laisvę Debeikių (Anykščių r.) naujosiose kapinėse, antkapinis paminklas – koplytėlė ant V. Talačkaitės kapo Anykščių naujosiose kapinėse, 10 dekoratyvinių drožinių "Bočių menėje" Lemonto kultūros centre Čikagoje (JAV).

1994 m. – koplytstulpis "Šv. Jurgis" generolo Vlado Mieželio gimtinėje Jakštų kaime (Zarasų r.), antkapinis paminklas "Rūpintojėlis" Kaišiadorių rajone.

1995 m. – dekoratyvinis pano Antano Baranausko poemos "Anykščių šilelis" motyvais Anykščių A. Baranausko vidurinėje (dabar – pagrindinėje) mokykloje, dekoratyvinis pano "Biliūnų šeima" Jono Biliūno sodyboje-muziejuje Niūronyse (Anykščių r.). 

1996 m. –  stogastulpis "Salakui – 500" Salake (Zarasų r.), stogastulpis kunigui dr. Jonui Steponavičiui atminti prie jo sodybos Zokorių vienkiemyje (Zarasų r.), bareljefas "Vakaruška" privačioje kolekcijoje Čikagoje (JAV), rodyklė prie kelio į Vašuokėnus (Anykščių r.).

1997 m. – Anykščių rajono mero regalijos, atkurtas Nukryžiuotasis ant Anykščių Šv. Mato bažnyčios apsidės, kryžius ant Garšvų šeimos kapo Anykščių senosiose kapinėse, bareljefas "Vytis" Lemonte (Čikaga, JAV).

1998 m. – stogastulpis-kryžius Salinių kaime išžudytos Gaidžių šeimos tragedijai atminti Antazavės (Zarasų r.) bažnyčios šventoriuje, stogastulpis mokytojui Jonui Andriūnui atminti prie Zarasų "Ąžuolo" gimnazijos, stogastulpis "Piemenukas" Nepomuko (Čekija) mokyklos salėje.

1999 m. – paminklas-rodyklė Maironio veiklai 1914–1915 m. atminti Vašuokėnuose (Anykščių r.), dekoratyvinis pano Nepomuko (Čekija) mokyklos salėje, stogastulpis "Mindaugo karūnavimas" prie Lietuvos ambasados Prahoje (Čekija), figūrinė kompozicija "Arkliukai" vaikų žaidimų aikštelėje Arklio muziejuje Niūronyse (Anykščių r., su Valentu Survila).

2000 m. – antkapinis paminklas ant monsinjoro Alberto Talačkos kapo Anykščių naujosiose kapinėse, stogastulpis "Ilgio ežero mergelė" prie kelio į Kiviškių kaimą netoli Imbrado (Zarasų r.), kryžius su Nukryžiuotojo skulptūra prie įvažiavimo į Antazavę (Zarasų r., kartu su Pranu Savicku).

2001 m. – dekoratyvinis suolas ir skulptūra "Šepkiokas" L. Šepkos parke Rokiškyje, Balio Karazijos atminimo lenta prie pastato Anykščiuose, Vilniaus g. 5, kur 1926 m. buvo pagamintas pirmasis vynas.

2002 m. – karuselės vaikų žaidimų aikštelėje Arklio muziejuje Niūronyse, dekoratyvinė kompozicija "Žirgeliai" L. Šepkos parke Rokiškyje, skulptūra-rodyklė "Panevėžio miškų urėdija", dekoratyvinė skulptūra "Jubiliejinis sostas" kaimo turizmo sodyboje prie Sartų ežero (Rokiškio r.), skulptūra "Piemenukai" Nepomuko (Čekija) mokykloje.

2003 m. – kryžius su gedinčios motinos skulptūra Pienagalio (Anykščių r.) senkapyje, stogastulpis prie Kupiškio technologijos ir verslo mokyklos, kryžiaus kelio stotys Valgos (Estija) bažnyčioje, skulptūra "Šv. Jonas Krikštytojas", vaikų žaidimų aikštelė ir skulptūros Vytauto Galvono sodyboje Kalvelių kaime (Vilniaus r.), skulptūros "Mergaitė" ir "Senelis meistrelis" bei dekoratyvinis suolas "Nykštukai" Pakalnės sodyboje Skverbų kaime (Kupiškio r.).

2004 m. – aukštaitiškas kryžius, atkurtas pagal Salake stovėjusį kryžių, Lietuvos liaudies buities muziejuje Rumšiškėse (Kaišiadorių r.), skulptūra "Puodžiai" prie Vytauto Valiušio keramikos muziejaus Leliūnuose (Utenos r.), skulptūrinė kompozicija "Atminties vartai" prie Kiaušagalio (Anykščių r.) kapinių, dekoratyvinė rodyklė "Kupa" Kupos parke Kupiškyje.

2005 m. – dekoratyvinė kompozicija "Gyveno senelis prie Kupos" Kupos parke Kupiškyje, koplytstulpis ant Vaclovo ir Onos Dulevičių šeimos kapo Anykščių senosiose kapinėse, Alfonso Deresevičiaus antkapinis paminklas Anykščių naujosiose kapinėse.

2006 m. – parodinė bareljefų kompozicija "Liongino Šepkos gyvenimas", skulptūra-rodyklė "Arklio muziejus" Niūronyse, memorialinė lenta Kaziui Inčiūrai prie senosios Vašuokėnų (Anykščių r.) pradinės mokyklos, sūpuoklės-lipynės "Katinėlis ir paukšteliai" Kupos parke Kupiškyje, koplytstulpis "Šv. Matas" Kugių sodyboje K. Būgos gatvėje Anykščiuose, skulptūra "Rūpintojėlis", P. Vitkuvienės antkapinis paminklas Vilniaus Kairėnų kapinėse.

2007 m. – koplytstulpis "Šv. Jonas Krikštytojas" Vajasiškio (Zarasų r.) Šv. Jono Krikštytojo bažnyčios šventoriuje, stogastulpis su suolu "Bajoro Nykščio sūnūs" Anykščių Kurorto parke, dekoratyvinis pano Vytauto Valiušio keramikos muziejuje Leliūnuose (Utenos r.), prakartėlė Pakalnės sodyboje Skverbų kaime (Kupiškio r.), sakykla Truskavos (Kėdainių r.) bažnyčioje, pavėsinė Kupos parke Kupiškyje (su R. Zinkevičiumi ir V. Jatulevičiumi).

2008 m. – Anykščių miško muziejaus Troškūnų girininkijoje rodyklė Troškūnuose, rodyklė "Puntuko brolis" prie Anykščių, skulptūra "Kareivėlis" L. Šepkos parke Rokiškyje, kryžius Šemetų gimtinėje Pelyšos kaime (Anykščių r.), koplytstulpis Algirdo Šemetos sodyboje Andrioniškyje (Anykščių r.), kryžius Kryžių kalne (Šiaulių r.), skulptūros "Lukošiukas" ir "Nippė" Vilniuje.

2009 m. – Sedeikių kaimo (Anykščių r.) kryžius, skulptūra "Šv. Matas" Anykščių Šv. Mato bažnyčios šventoriuje, skirta šios bažnyčios 100-mečiui, stogastulpis "Šv. Kazimieras" Truskavoje (Kėdainių r.), dekoratyvinė skulptūra "Pypkė" Kupiškyje, skulptūrinė kompozicija "Puokštė Rokiškiui" L. Šepkos parke Rokiškyje (su K. Krasausku, G. Varnu ir V. Zakarka).

2010 m. – dekoratyvinis suolas "Liūtas" Truskavoje (Kėdainių r.), skulptūra "Šv. Anelė" Inkūnuose (Anykščių r.).

J. Tvardauskui buvo suteiktas Lietuvos kultūros  žymūno vardas (1990 m.). Jis laimėjo 13-ąjį respublikinį medžio drožėjų konkursą ir tapo prestižinės Liongino Šepkos premijos laureatu (2006 m.). Jam skirta Teresės Mikeliūnaitės Anykščių kultūros premija (2007 m.). 

Laisvalaikį praleisdavo gamtoje, sode ar kurdamas.

Buvo vedęs, žmona Irena Kerpiškytė-Tvardauskienė (1939–2011) – pedagogė, švietimo organizatorė. Dukros: Daiva Tvardauskaitė-Juodsnukienė (g. 1966 m.) – logopedė, Ramunė Tvardauskaitė-Šaltenienė (g. 1968 m.) – inžinierė technologė.

Mirė 2010 m. liepos 1 d. Pasuosiuose (Kupiškio r.). Palaidotas naujosiose Anykščių kapinėse. Kapą ženklina pilko akmens paminklas-stela su iškaltu kryžiaus bareljefu.