Tėvai: Balys Tvardauskas (1911–1992) – žemdirbys, kaimo amatininkas, ir Antanina Paproctaitė-Tvardauskienė (1909–1984) – žemdirbė. Brolis Edvardas Tvardauskas (g. 1934 m.) – ekonomistas finansininkas.

1945–1953 m. mokėsi Degučių (Zarasų r.) septynmetėje mokykloje, 1953–1955 m. tęsė mokslą Utenoje, 1955–1963 m. – Kauno Stepo Žuko taikomosios dailės technikume, įgijo dailininko apipavidalintojo specialybę.

1963–1966 m. J. Tvardauskas dirbo Zarasų internatinės ir Degučių (Zarasų r.) aštuonmetės mokyklų mokytoju.

1966–1967 m. jis gyveno Kėdainiuose, kur trumpai dirbo mokytoju, 1967–1970 m. buvo įsikūręs Šiauliuose ir 1967–1970 m. buvo Panevėžio suvenyrų gamybos įmonės "Tulpė" Šiaulių cecho vadovas.

Nuo 1970 m. iki gyvenimo pabaigos J. Tvardauskas gyveno ir kūrė Anykščiuose.  1970–1977 m. jis dirbo Plungės liaudies meno gaminių įmonės "Minija" meistru, etalonų kūrėju. 1979–1999 m. jis buvo Anykščių kultūros rūmų meninio apipavidalinimo dirbtuvių dailininkas, kol išėjo į pensiją.

Medžio drožinius jis kūrė ir eksponuodavo nuo 1954 m., pirmieji jo mokykliniai darbai saugomi Stelmužės (Zarasų r.) liaudies meno muziejinėje ekspozicijoje. Nuo 1965 m. iki gyvenimo pabaigos jis nuolat dalyvaudavo tautodailės parodose.

J. Tvardauskas nuo 1967 m. buvo Liaudies meno draugijos (nuo 1989 m. – Lietuvos tautodailininkų sąjungos) narys, nuo 1977 m. ilgą laiką buvo Anykščių sekcijos, vėliau skyriaus pirmininkas.

Jis dalyvavo medžio drožėjų stovyklose Juodkrantėje, Birštone, Utenoje, Plungėje, Anykščiuose. J. Tvardauskas dirbo tarptautiniame simpoziume Nepomuke (Čekija, 1998 ir 1999 m.), visur paliko savo darbų, buvo kūrybinių konkursų nugalėtojas.

Jo darbų turi įsigiję Amerikos lietuviai, šeši jo kūriniai (Liongino Šepkos portretas, "Jono Biliūno šeimyna", "Sausio 13-oji", Anykščių tremtinių kryžiaus kopija ir kiti) nuo 1993 m. eksponuojami Lemonto liaudies meno muziejuje Čikagoje (JAV), dešimčia J. Tvardausko medžio bareljefų istorine tematika buvo apipavidalinta "Bočių menė" Lemonte (JAV, 1993 m.), jo drožtos kryžiaus kelio stotys (15 bareljefų) sumontuotos Valgos (Estija) bažnyčioje (2002–2003 m.). J. Tvardausko sukurtos ąžuolinės memorialinės lentos žymi istorinės svarbos Anykščių krašto vietas.

J. Tvardauskas sukūrė ir išdrožė iš ąžuolų daug monumentalių darbų, kurie viešosiose Lietuvos erdvėse įamžino įvairius įvykius, vietoves ir žmones.

Žymiausi J. Tvardausko medžio drožiniai:

1978 m. – skulptūrinė grupė "Eik po velnių su savo kortomis" Plungėje (kartu su Antanu Klovu).

1986 m. – dekoratyvinis pano Svėdasų (Anykščių r.) Juozo Tumo-Vaižganto gimnazijoje, antkapinis paminklas ant knygnešio Jono Tumo kapo senosiose Rubikių kapinėse, rodyklė Rubikių ežero Didžiojoje saloje.

1987 m. – skulptūros "Pamergė" ir "Vaikai" Vestuvių kalne Utenoje.

1988 m. – koplytėlė su Šv. Marija Birštono "Atminties take".

1989 m. – dekoratyvinis pano "Gyvenimo akimirkos" Svėdasų kultūros namuose, Tremtinių kryžius šalia Anykščių senųjų kapinių (su Liudu Tarabilda), memorialinė lenta prie senosios Kunigiškių (Anykščių r.) pradžios mokyklos.

1990 m. – koplytstulpio su Jėzaus Nazariečio skulptūra kopija Starkakampyje (Anykščių r.), skulptūrų "Kančia" ir "Šv. Petras" kopijos koplytstulpyje, pastatytame 1928 m. Žaliojoje (Anykščių r.), stogastulpis inžinieriui Steponui Kairiui Užunvėžiuose (Anykščių r.), Tremtinių kryžius Zarasų bažnyčios šventoriuje, dekoratyvinis pano šermenų patalpoje Panevėžio Švč. Trejybės bažnyčioje, memorialinė lenta-bareljefas prie Bronės Buivydaitės namo-muziejaus Anykščiuose, rodyklė "Anykščių centrinė ligoninė" prie senosios Anykščių ligoninės (2012 m. perkelta prie Anykščių naujosios ligoninės).

1991 m. – atkurtas dievdirbio Lunskaus stogastulpis Storiuose (Anykščių r.), stogastulpis rašytojo Stepo Zobarsko gimtinėje Pamaleišyje (Anykščių r.), stogastulpis su Šv. Jono Nepomuko bareljefu Maironio tėviškėje Pasandravyje (Raseinių r.), kryžius su Nukryžiuotojo skulptūra kaimui atminti kunigo Gintaro Petronio gimtojoje sodyboje Kloviškių kaime (Zarasų r.), dekoratyvinis pano "Smagu draugų būry" Anykščių kultūros rūmuose, rodyklė "Vosgėliai".

1992 m. – kryžius su drožiniais ir koplytėlėmis prie naujųjų Debeikių (Anykščių r.) kapinių vartų, stogastulpis Lietuvos Nepriklausomybės Akto signataro Stepono Kairio gimtinėje Užunvėžiuose (Anykščių r.), memorialinė lenta Teresei Mikeliūnaitei prie A. Baranausko ir A. Vienuolio-Žukausko memorialinio muziejaus administracinio pastato Anykščiuose. 

1993 m. – skulptūrinė kompozicija Lietuvos karaliui Mindaugui prie Šeimyniškėlių (Anykščių r.) piliakalnio, koplytstulpis žuvusiems už Lietuvos laisvę Debeikių (Anykščių r.) naujosiose kapinėse.

1994 m. – koplytstulpis "Šv. Jurgis" generolo Vlado Mieželio gimtinėje Jakštų kaime (Zarasų r.).

1995 m. – dekoratyvinis pano Antano Baranausko poemos "Anykščių šilelis" motyvais Anykščių A. Baranausko vidurinėje mokykloje, dekoratyvinis pano "Biliūnų šeima" Jono Biliūno sodyboje-muziejuje Niūronyse (Anykščių r.). 

1996 m. –  stogastulpis "Salakui – 500" Salake (Zarasų r.), stogastulpis kunigui Jonui Steponavičiui atminti prie jo sodybos Zokorių vienkiemyje (Zarasų r.).

1997 m. – Anykščių rajono mero regalijos, atkurtas Nukryžiuotasis ant Anykščių Šv. Mato bažnyčios apsidės.

1998 m. – stogastulpis-kryžius Salinių kaime išžudytos Gaidžių šeimos tragedijai atminti Antazavės (Zarasų r.) bažnyčios šventoriuje, stogastulpis mokytojui Jonui Andriūnui prie Zarasų "Ąžuolo" gimnazijos.

1999 m. – paminklas-rodyklė Maironio veiklai 1914–1915 m. atminti Vašuokėnuose (Anykščių r.), stogastulpis "Mindaugo karūnavimas" prie Lietuvos ambasados Prahoje (Čekija), kompozicija "Arkliukai" vaikų žaidimų aikštelėje Arklio muziejuje Niūronyse (Anykščių r., su Valentu Survila).

2000 m. – antkapinis paminklas ant monsinjoro Alberto Talačkos kapo naujosiose Anykščių kapinėse, stogastulpis "Ilgio ežero mergelė" prie kelio į Kiviškių kaimą netoli Imbrado (Zarasų r.), kryžius su Nukryžiuotojo skulptūra prie įvažiavimo į Antazavę (Zarasų r., kartu su Pranu Savicku).

2001 m. – dekoratyvinis suolas ir skulptūra "Šepkiokas" L. Šepkos parke Rokiškyje.

2002 m. – karuselės vaikų žaidimų aikštelėse Arklio muziejuje Niūronyse, kompozicija "Žirgeliai" L. Šepkos parke Rokiškyje, skulptūra-rodyklė "Panevėžio miškų urėdija".

2003 m. – kryžius su gedinčios motinos skulptūra Pienagalio (Anykščių r.) senkapyje, stogastulpis prie Kupiškio technologijos ir verslo mokyklos.

2004 m. – Aukštaitijos kryžius, atkurtas pagal Salake stovėjusį kryžių, Lietuvos liaudies buities muziejuje Rumšiškėse (Kaišiadorių r.), skulptūrinė kompozicija "Puodžiai" prie Vytauto Valiušio keramikos muziejaus Leliūnuose (Utenos r.), skulptūrinė kompozicija "Atminties vartai" prie Kiaušagalio (Anykščių r.) kapinių, dekoratyvinė rodyklė "Kupa" Kupos parke Kupiškyje.

2005 m. – dekoratyvinė kompozicija "Gyveno senelis prie Kupos" Kupos parke Kupiškyje.

2006 m. – parodinė bareljefų kompozicija "Liongino Šepkos gyvenimas", skulptūra-rodyklė "Arklio muziejus" Niūronyse, memorialinė lenta Kaziui Inčiūrai prie senosios Vašuokėnų (Anykščių r.) pradinės mokyklos, sūpuoklės-lipynės "Katinėlis ir paukšteliai" Kupos parke Kupiškyje.

2007 m. – koplytstulpis "Šv. Jonas Krikštytojas" Vajasiškio (Zarasų r.) Šv. Jono Krikštytojo bažnyčios šventoriuje, stogastulpis "Bajoro Nykščio sūnūs" Anykščių parke, dekoratyvinis pano Vytauto Valiušio keramikos muziejuje Leliūnuose (Utenos r.).

2008 m. – Anykščių miško muziejaus Troškūnų girininkijoje rodyklė Troškūnuose, rodyklė "Puntuko brolis" Anykščiuose, skulptūra "Kareivėlis" L. Šepkos parke Rokiškyje.

2009 m. – skulptūra "Šv. Matas" Anykščių Šv. Mato bažnyčios šventoriuje, skirta šios bažnyčios 100-mečiui, stogastulpis "Šv. Kazimieras" Truskavoje (Kėdainių r.).

2010 m. – dekoratyvinis suolas "Liūtas" Truskavoje (Kėdainių r.), skulptūra "Šv. Anelė" Inkūnuose (Anykščių r.).

J. Tvardauskas laimėjo 13-ąjį respublikinį medžio drožėjų konkursą ir tapo prestižinės Liongino Šepkos premijos laureatu (2006 m.). Jam skirta Teresės Mikeliūnaitės Anykščių kultūros premija (2007 m.). 

Laisvalaikį praleisdavo gamtoje, sode ar kurdamas.

Buvo vedęs, žmona Irena Kerpiškytė-Tvardauskienė (1939–2011) – pedagogė, švietimo organizatorė. Dukros: Daiva Tvardauskaitė-Juodsnukienė (g. 1966 m.) – logopedė, Ramunė Tvardauskaitė-Šaltenienė (g. 1968 m.) – inžinierė technologė.

Mirė 2010 m. liepos 1 d. Pasuosiuose (Kupiškio r.). Palaidotas naujosiose Anykščių kapinėse. Kapą ženklina pilko akmens paminklas-stela su iškaltu kryžiaus bareljefu.